....algebra....

hmm, zdaje sie, ze Lokator pisze tak:

Cytat:| i-ta pochodna dowolenj funkcji rekurencyjnie.:P z wykorzystaniem modulu.
| funkcja musi byc parametrem:P
sranie w banie... ja mam filozofię i bazy danych ;)



...a i tak nic nie wiecie o wykresie zelazo-wegiel...

sympleks prymalny opanowany?

 

Obliczanie pochodnych

Piszę sobie w Delphim programik do robienia wykresów. Stworzyłem już
elegancki moduł do ich wyświetlania, stworzyłem na bazie RXa parser wzorów,
ale teraz natknąłem się na trudny (z mojego punktu widzenia ;) kawałek.
Chciałbym dodatkowo zaznaczać ekstrema i punkty przegięcia, w związku z czym
pytanie - jak obliczyć pierwszą (bo drugą policzę z pierwszej) pochodną
danej funkcji? Mam dany wzór funkcji pierwotnej w stringu. Nie muszę mieć
koniecznie _wzoru_ pochodnej, wystarczą mi jej miejsca zerowe i wartości dla
różnych iksów.
Próbowałem obliczać iloraz różnicowy dla bardzo małych przyrostów
argumentów, ale to chyba nie to.
Na pewno jest na to jakaś elegancka metoda?

Pozdrawiam,

Grzegorz Krugły

http://karkonosze.koti.com.pl/

Obliczanie pochodnych

Mogę podesłac programik obliczajacy prawie poprawnie pochodna funkcji

QUBIAK

Cytat:Piszę sobie w Delphim programik do robienia wykresów. Stworzyłem już
elegancki moduł do ich wy?wietlania, stworzyłem na bazie RXa parser wzorów,
ale teraz natkn?łem się na trudny (z mojego punktu widzenia ;) kawałek.
Chciałbym dodatkowo zaznaczać ekstrema i punkty przegięcia, w zwi?zku z
czym
pytanie - jak obliczyć pierwsz? (bo drug? policzę z pierwszej) pochodn?
danej funkcji? Mam dany wzór funkcji pierwotnej w stringu. Nie muszę mieć
koniecznie _wzoru_ pochodnej, wystarcz? mi jej miejsca zerowe i warto?ci
dla
różnych iksów.
Próbowałem obliczać iloraz różnicowy dla bardzo małych przyrostów
argumentów, ale to chyba nie to.
Na pewno jest na to jaka? elegancka metoda?

Pozdrawiam,

Grzegorz Krugły

http://karkonosze.koti.com.pl/



Obliczanie pochodnych

Cytat:Jesli masz wzor funkcji to mozesz policzyc pochodna symbolicznie.
(...)
W kazdym razie symboliczne
policzenie pochodnej jest ciekawym zadaniem samo w sobie.



Owszem, ale aż tak się na mój programik do wykresów nie zawziąłem :) Parsera
do obliczania wartości funkcji nie pisałem od zera, oparłem się na RXie, nie
lubię takiej roboty ;)

Grzegorz Krugły

http://karkonosze.koti.com.pl/

 

łagodna łamana pomiędzy dwoma odcinkami


Cytat:0. masz dane punkty (x1, y1) (x2,y2) (x3,y3) (x4,y4)

1. Potraktuj końce odcinków które chcesz połączyć jako funkcje
przechodzące
    przez 2 punkty  przy zadanych warunkach brzegowych.
    Jako dodatkowe równania warunków brzegowych uwzględnij 1 pochodną
funkcji
    (to po to aby krzywa gładko przechodziła w odcinek)
2. Wylicz funkcje
3. Wyznaczoną funkcję, w obszarze który Cię interesuje
    dzielisz na 5 kawałków 4 punktami (na przykład po równo)
4. Otrzymane punkty - to te które szukasz.



Można prosić jakiś przykład do powyższej teorii? Mam podobny problem, tzn. w
jaki sposób z wykresu powstałego przez połączenie punktów z pomiarów
otrzymać coś, co jest podobne do efektu "Wygładź linię" z Excela.

Pozdrawiam. Rafał.

Styczne do paraboli

Witam,

Mam problem z jednym zadankiem, może ktoś pomoże.

Wyznaczyć równania wszystkich prostych stycznych do wykresu funkcji:
f(x) = x^3 - 2x i przechodzących przez punkt A(7/5, -2).

Wiem że wspólczynnik kierunkowy tych stycznych jest pochodną tej paraboli
sześciennej, ale nie wiem jak to powiązać...

Styczne do paraboli

Cytat:



Cytat:Witam,

Mam problem z jednym zadankiem, może ktoś pomoże.

Wyznaczyć równania wszystkich prostych stycznych do wykresu funkcji:
f(x) = x^3 - 2x i przechodzących przez punkt A(7/5, -2).

Wiem że wspólczynnik kierunkowy tych stycznych jest pochodną tej paraboli
sześciennej, ale nie wiem jak to powiązać...



Musisz policzyc ta pochodna. Nastepnie wykorzystaj podany punkt...

Styczne do paraboli


Cytat:Witam,

Mam problem z jednym zadankiem, może ktoś pomoże.

Wyznaczyć równania wszystkich prostych stycznych do wykresu funkcji:
f(x) = x^3 - 2x i przechodzących przez punkt A(7/5, -2).

Wiem że wspólczynnik kierunkowy tych stycznych jest pochodną tej paraboli
sześciennej, ale nie wiem jak to powiązać...



wzor na styczną:

y - f(x0) = f ' (x0)(x-x0)
gdzie y to wzór stycznej
f (x0) w tym przypadku = 7/5^3 - 14/5
f ' (x) = 3x^2 - 2   =f ' (x0) = 3*(7/5)^2 -2
x - iks ze wzoru stycznej
Teraz podstaw wszystko do wzoru i przekształć tak by wyliczyć y
p[ozrdawiam

Badanie przebiegu zmienosci funkcji

Cytat:ludzie nieumiecie czy niechcecie pomózcie cos bo nierusze tego



Tak na szybko:

1. Dziedzina i przeciwdziedzina funkcji
2. Granice na krańcach dziedziny
3. Asymptoty poziome, pionowe i ukośne
4. parzystość, nieparzystość, okresowość funckji
5. Pierwsza pochodna i jej dziedzina
6. Miejsca zerowe pochodnej
7. Przedziały monotoniczności i ekstrema funckji
8. Druga pochodna i jej dziedzina
9. Miejsca zerowe drugiej pochodnej
10. Przedziały wklęsłościm wypukłości i punkty przegięcia
11. Punkty przecięcia wykresu z osiami układu współrzędnych
12. Tabelka
13. Wykres

Jeśli coś pomyliłem, to na pewno ktoś mnie poprawi. Cały przebieg zmienności
to przynajmniej 10-15 minut (jak ktoś wprawny). Ciężko zamieścić rozwiązanie
tutaj :)

Aha: świeżo, nie mam, znalazłby, nie być, nie umiecie, nie chcecie, nie
ruszę.Wiem, wiem, czepiam się :DDD

Pzdr,
 7dust

Istnienie wielomianu...


Cytat:Oposcilem jedno rownanie bo nie bylo mi potrzebne. Wuliczylem od razu,
ze e=1, wiec zostaly juz tylko 4 niewiadome...



No wlasnie sek w tym, ze ono jest potrzebne. Co prawda nie do obliczenia
wartosci wspolczynnikow, ale do ich sprawdzenia. Wtedy bedziesz mial sprzecznosc.

Zadanie to mozna rozwiazac bardzo szybko bez obliczania wartosci
wspolczynnikow. Wystarczy narysowac wykres funkcji wielomianowej P(x) (prosty
szkic). Okazuje sie, ze funkcja ta, zeby przechodzic przez dane punkty, musi
miec conajmniej 4 ekstrema (wynika to z faktu, ze kazda funkcja wielomianowa
stopnia n, gdzie n jest parzyste, jest przedzialami monotoniczna (i ciagla)).
Jezeli funkcja ta mialaby conajmniej 4 ekstrema, to znaczyloby, ze jej
pochodna jest conajmniej 4 stopnia, co jest niemozliwe, gdyz funkcja
wielomianowa 4-tego stopnia ma pochodna stopnia 3-ego. Doszlismy wiec do
sprzecznosci, zatem taka funkcja nie istnieje (a wiec i nie istnieje
wielomian, ktory moglby spelniac podane zalozenia).

Pozdrawiam,
Damian Sobota.

trygonometria - matura

Witam,
        mam nadzieje ze bedziecie w stanie mi pomoc w zrobieniu
pewnego zadanka z trygonometrii. Oto i to zadanie:
Wyznacz najwieksza i najmniejsza wartosc funkcji w przedziale <0;4*PI
f(x)=sqrt(3)*cos(x/2) + sin(x/2) - (x-3)/2.
Pochodna bedzie miala postac
f'(x)=(-sqrt(3)/2)*sin(x/2) + (1/2)*cos(x/2) - 1/2
Wyszukiwalem wiec jej miejsc zerowych bo tam znajduja sie ekstrema
f(x)
-sqrt(3)*sin(x/2) + cos(x/2) - 1 = 0
Ksiazka do matemy podaje zeby podstawic to pod jedynke
trygonometryczna i obliczyc
cos(x/2) = sqrt(3)*sin(x/2) + 1
(sin(x/2))^2 + (cos(x/2))^2 = 1
(sin(x/2))^2 + 3*(sin(x/2))^2 + 2*sqrt(3)*sin(x/2) + 1 = 1
...
sin(x/2)=0 lub sin(x/2)=-(sqrt(3)/2)
i tu pojawia sie problem
z liczenia wychodzi x=n*2*PI lub x=-(2/3)*PI+n*4*PI lub
x=(8/3)*PI+n*4*PI

Kiedy rysuje wykres f'(x) w MatCad'zie, jego miejsca zerowe nie
pokrywaja sie idealnie z miejscami zerowymi ktore wychodza z liczenia.
Jeszcze inna sprawa - kiedy do jedynki podstawie nie cos(x/2) tylko
sin(x/2) wynik wychodzi znow inny... Nie wiem skad to sie bierze, moze
w ktoryms miejscu na dziedzine nakladane powinny byc jakies
'restrykcje'... Nie moge nigdzie indziej znalezc odpowiedzi na to, a
mam dosc malo czasu, bo we czwartek matura ;).

Pozdrawiam
Grzegorz

trygonometria - matura

Cytat:Witam,
 Â       mam nadzieje ze bedziecie w stanie mi pomoc w zrobieniu
pewnego zadanka z trygonometrii. Oto i to zadanie:
Wyznacz najwieksza i najmniejsza wartosc funkcji w przedziale <0;4*PI
f(x)=sqrt(3)*cos(x/2) + sin(x/2) - (x-3)/2.
Pochodna bedzie miala postac
f'(x)=(-sqrt(3)/2)*sin(x/2) + (1/2)*cos(x/2) - 1/2
Wyszukiwalem wiec jej miejsc zerowych bo tam znajduja sie ekstrema
f(x)
-sqrt(3)*sin(x/2) + cos(x/2) - 1 = 0
Ksiazka do matemy podaje zeby podstawic to pod jedynke
trygonometryczna i obliczyc
cos(x/2) = sqrt(3)*sin(x/2) + 1
(sin(x/2))^2 + (cos(x/2))^2 = 1
(sin(x/2))^2 + 3*(sin(x/2))^2 + 2*sqrt(3)*sin(x/2) + 1 = 1
...
sin(x/2)=0 lub sin(x/2)=-(sqrt(3)/2)
i tu pojawia sie problem
z liczenia wychodzi x=n*2*PI lub x=-(2/3)*PI+n*4*PI lub
x=(8/3)*PI+n*4*PI

Kiedy rysuje wykres f'(x) w MatCad'zie, jego miejsca zerowe nie
pokrywaja sie idealnie z miejscami zerowymi ktore wychodza z liczenia.
Jeszcze inna sprawa - kiedy do jedynki podstawie nie cos(x/2) tylko
sin(x/2) wynik wychodzi znow inny... Nie wiem skad to sie bierze, moze
w ktoryms miejscu na dziedzine nakladane powinny byc jakies
'restrykcje'... Nie moge nigdzie indziej znalezc odpowiedzi na to, a
mam dosc malo czasu, bo we czwartek matura ;).

Pozdrawiam
Grzegorz



niet, kolega matrematyk nie zbadal jak sie zachowuje rownanie dla wyliczonych
argumentow.

rafal

wlasciwosci drugiej pochodnej


Cytat:



Tak (oczywiscie o ile mowisz o funkcji  R -R).

Cytat:

a gdy = 0 to nastepuje punkt przegiecia?



Nie.

Funkcja stala i liniowa maja druga pochodna zerowa wszedzie,
a punktu przegiecia nie maja nigdzie....

Funkcja  f(x) = x^6  ma druga pochodna  f"(x) = 30 x^4,
ktora w zerze wynosi zero - a funkcja  f  jest wypukla....

Scisle rzecz biorac, to punkt przegiecia nie "nastepuje"
tylko "znajduje sie" albo "jest" gdzies, a poza tym
punktu przegiecia nie ma funkcja tylko krzywa - wykres funkcji.

Maciek

Funkcja wyk³adnicza


Cytat:1)
   4(3^x) < 6^x - 2^(x+1) + 8

Proszę o podpowiedź!!!!

2)

   obliczyć tanges kąta pod jakim wykres funkcji f(x) przecina wykres
funkcji g(x)
   g(x)=(5x+33)/(x+3)
   f(x)=x^2+6x+11



.............................................................
Rozwiąż równanie g(x)=f(x) wyznaczając współrzędne punktu przecięcia sie
wykresów (0.11).
Następnie oblicz pochodne funkcji. Wyznacz styczne do tych krzywych w tym
punkcie.CK.
............................................................................
...............................................................

Proste rownanie?

Cytat:
Dla odpowiednio dużych co do wartości bezwzględnej iksów ta funkcja jest
ściśle rosnąca. Tak się ładnie składa, że te odpowiednio duże iksy są małe i
dla |x|1 funkcja jest rosnąca. Ale f(1)0 i f(-1)<0. Wystarczy więc
rozpatrzyć przedział <-1,1i znaleźć pierwiastki, których jest dokładnie
dwa (ich liczbę ograniczasz sprawdzając ile razy pochodna funkcji zmienia
znak w przedziale).
Krzysan



       A nie przypadkiem 3? Bo z wykresu to tak właśnie by wynikało...
  Jeden w x=0 i dwa pozostałe symetrycznie względem punktu (0;0).
       regards ^_^

Proste rownanie?

Cytat:
| Dla odpowiednio dużych co do wartości bezwzględnej iksów ta funkcja jest
| ściśle rosnąca. Tak się ładnie składa, że te odpowiednio duże iksy są
małe i
| dla |x|1 funkcja jest rosnąca. Ale f(1)0 i f(-1)<0. Wystarczy więc
| rozpatrzyć przedział <-1,1i znaleźć pierwiastki, których jest
dokładnie
| dwa (ich liczbę ograniczasz sprawdzając ile razy pochodna funkcji
zmienia
| znak w przedziale).
| Krzysan

       A nie przypadkiem 3? Bo z wykresu to tak właśnie by wynikało...
  Jeden w x=0 i dwa pozostałe symetrycznie względem punktu (0;0).
       regards ^_^


juz zwatpilem...

Cytat:bo jesli wartosc jest < 1 to
funkcja jest malejaca... chyba (?)



 NIE
Narysuj sobie wykres funkcji y=sqrt(x)!
Ściśle możesz to sprawdzić (tzn. że funkcja jest jednak rosnąca) licząc
pochodną.

Pozdrawiam - Theo

proszę o pomoc

Cytat:

Zbadać funckję y=x^3 + 3x^2 - 4 i na podstawie jej wykresu znaleść zależność
liczby pierwiastów rónania x^3 + 3x^2 - 4=m od paramteru m /szczególnie nie
rozumiem drugiej części zadania/.



Wystarczy zauwazyc ze dzieli sie przez (x-1) i masz miejsca zerowe.
Acha, wczesniej oczywiscie ustalasz dziedzine. Liczysz granice na
krancach dziedziny i pochodna i mozesz juz rysowac wykres (jedno miejsce
zerowe jest podwojne).
Co do drugiej czesci to rozwiazujesz graficznie uklad rownan
y=m
y=x^3 + 3x^2 - 4
dla roznych m
np. jedno rozwiazanie dla m = /* czyt. nalezacego */ (-oo,-4) U (0,+oo)
dwa rozwiazania dla m = {-4,0}
trzy rozwiazania dla ...

Cytat:

Który z walców o danej objętości V ma największą powieżchnie całkowitą.



Moze najmniejsza ???

Cytat:

Dla jakich a funkcja
f(x)=      ax^2 - 3   /licznik/
                x - 2     /mianownik/
jest funckją nie mającą extremum.



Funkcja moze posiadac  ekstremum (nie musi) jezeli f'(x)=0

W twoim przypadku masz do rozwiazania rownanie f'(x) != 0
!= rozne

Pozdrawiam Paweł

// Paweł Datkiewicz

miejsca zerowe funkcji


Cytat:no juz przyblizylem sobie pojecie ekstremum i z wykresu wydaje mi sie ze co
najwyzej jedno... ale niestety nic mi to nie mowi, a takze nie potrafie dociec
bez rysowania (a rysowanie tej funkcji bez uzycia komputera jest trudnym
zadaniem)



Ja bym to zrobił tak. Obliczam pochodną, patrze ile może mieć miejsc
zerowych. Ponieważ może być tylko jedno, to zmiana w charakterze
monotoniczności funkcji też może być tylko jedna. QED. No, prawie.

przebieg zmiennosci funkcji

witam

Cytat:mam takie zadanko:
"Zbadaj przebieg zmiennosci funkcji f(x) = (x^3-8)/x^2 i naszkicuj jej
wykres.Okresl liczbe pierwiastkow rownania x^3-8/x^2 = x+m."



f(x) = (x^3 - 8) / x^2; D = (-oo, 0) lub (0, oo)
f(x) = (x - 2)(x^2 +2x + 4) / x^2
wykres przecina os OX tylko w punkcie (0, 2)
w dalszej czesci: x /in D

x < 2 funkcja f przyjmuje wartosci ujemne
x 2 funkcja f przyjmuje wartosci dodatnie

(x^3 - 8) / x^2 = x - 8 / x^2
latwo spostrzec, ze f posiada asymptote pochyla y = x
znakujemy reszte
wykres przebiega pod asymptota skosna;
asymptota pionowa x = 0;
rysujemy wykres
gwoli formalnosci mozesz zapisac takie rzeczy jak granice w
nieskonczonosciach itp.
jezeli chcesz obliczyc np. wspolrzedne maksimum to odwolujesz sie do
rachunku pochodnych

druga czesc zadania jest banalna
(x^3 - 8)/x^2 = x + m       /x^2
x^2m = -8
dla m = 0 brak pierwiastkow
dla m < 0 dwa pierwiastki x_1 = sqrt(-8/m), x_2 = sqrt(-8/m)

dla stwierdzenia faktu, ze dla m in R+ nie ma pierwiastkow mozesz posluzyc
sie wykresem (tniesz wykres f prostymi o rownaniach y = x + m)

pozdrawiam
apollyon

Badanie przebiegu funkcji - y=x*sinx

Witam !!!

Czy ktos wie jak przebadac y=x*sinx a konkretnie policzyc miejsca zerowe
f'(x) ? Sama pochodna mozna policzyc na palcach, ze f'(x)=sinx + x*cosx .
Czyli zeruje sie wtedy, kiedy sinx= - x*cosx . No i ten x mi tu bruzdzi, nie
wiem jak to przeskoczyc. Ze wzorku funkcji widac, ze bedzie miala przebieg
sinx ale w miare przyrostu x wykres bedzie coraz wyzszy. To jest zadanie z
podrecznika do IV klasy LO :^)

p.

Jasiek

monotonicznosc funkcji na przedziale

Cytat:po pierwsze mowie dzien dobry, bo jestem tu nowy.
a co do problemu to chyba (tzn. o ile pamietam ze szkoly) wystarczy zbadac
pochodna funkcji. jezeli na tych przedzialach nie zeruje sie ona i ma
staly
znak to jest odpowiednio rosnaca gdy f'(x) ma znak dodatni lub malejaca
gdy
ma znak ujemny. jezeli natomiast sie zeruje to znaczy to ze albo ma tam
ekstremum albo punkt przegiecia. aby to ustalic wystarczy zbadac znak
pochodnej przed i po 'felernym' punkcie lub po prostu zbadac f''(x) czyli
druga pochodna.
pzdr.
menth0l.



Po pierwsze odpowiadam: Dzień dobry. Po drugie: Kamil pytał o
monotoniczność, do której wypukłość (wykresu) funkcji nie ma raczej nic do
rzeczy :) Niecelowe jest więc badanie drugiej pochodnej. Gdyby chodziło o
zbadanie wypukłości, to rzeczywiście należałoby zbadać - oprócz drugiej -
także pierwszą pochodną. Ogólnie jest tak, że jeśli funkcja jest klasy C(n)
i wszystkie pochodne w danym punkcie do rzędu (n-1) włącznie są różne od
zera, a pochodna rzędu n zeruje się, to: jeśli n jest liczbą parzystą -
funkcja ma w danym punkcie punkt przegięcia, jeśli n jest nieparzyste -
funkcja ma ekstremum.

Przemek

wartość wielomianu

Cytat:jak wyznaczyć najmniejszą wartość funkcji wielomianowej:

W(x)=(x-1)*(x-2)*(x-3)*(x-4)+10

pozdrawiam, Darek



Narysuj sobie wykres tego wielomianu (taki przybliżony wężyk - aby tylko
zachować monotoniczność) i zobaczysz, że minimum jest w jednym z tych
czterech przedziałów: (1,2); (2,3); (3,4) - a więc tam styczna tworzy kąt 0
z osią OX - wystarczy wykorzystać pochodne...

Pozdrawiam,

Michał

Całka i różniczka jako operacje odwrotne

Cytat:
Od razu widać, że sumowanie nachyleń funkcji daje tę funkcję,
czyli całkowanie pochodnej mamy z głowy. A co z różniczkowaniem
całki? Myślę, i do niczego nie potrafię dojść...



Pomyśl o całce od 0 do x. Intuicyjnie pochodna mierzy jak szybko funkcja
rośnie. No a to jak szybko rośnie pole pod wykresem wraz z przyrostem x
zależy właśnie od tego jaka jest wartość funkcji.

Rachunki do samodzielnego montażu ;-)

Pozdrawiam
Marcin

Całka i różniczka jako operacje odwrotne

Cytat:Pomyśl o całce od 0 do x. Intuicyjnie pochodna mierzy jak szybko funkcja
rośnie. No a to jak szybko rośnie pole pod wykresem wraz z przyrostem x
zależy właśnie od tego jaka jest wartość funkcji.



No tak. Prosta sprawa.
Dziękuję.

T. D.

program do matematyki

Cytat:
c++,
czy mathematica ma jakies funkcje do liczenia granic, pochodnych, operacje
na
macierzach, calek i wiele innych rzeczy przydatnych w programie
matematycznym.




umiesz programować i to jest bardzo ważne bo znając C++ od razu w
Mathemathice czujesz sie jak ryba w wodzie. Ma wszystko o czym piszesz a
poza tym jest do niego fajna książka po polsku Grzegorz Drwal - Mathematica
4 lub Mathematica 5 tego samego autora. Szczególnie na pochwałę zasługuje
duża funkcjonalność jeżeli chodzi o wizualizacje (ogólnie rzecz biorąc ma
bardzo rozbudowane możliwości tworzenia wykresów).

Nikogo do niczego nie namawiam. Słyszałem o innych programach dlatego
chciałbym poczytać opinie innych użytkowników, najchętniej w stylu co jakiś
program ma czego inny nie ma. Wtedy wiadomo co wybrać do konkretnego
zastosowania.

Pozdrawiam

CYSTERNA++

---
Outgoing mail is certified Virus Free.
Checked by AVG anti-virus system (http://www.grisoft.com).
Version: 6.0.734 / Virus Database: 488 - Release Date: 2004-08-04

Pochodna i jej ciągłość

Witam,

Na kursie robiliśmy zadanie : czy funkcja f(x) jest różniczkowalna ?
f(x) = ( x^2 - 4x dla x <= 4 ) i ( 4 - x dla x 4 )
Prowadzący podał nam warunek różniczkowalności w x_0 ;

lim((f(x)-f(x_0))/(x-x_0) : x-x^- ) = lim((f(x)-f(x_0))/(x-x_0) : x-x^+ )

Dodatkowo po spojrzeniu na wykres pochodnej, doszedłem do wniosku, że
pochodna funkcji musi być ciągła w danym punkcie, żeby można było ją tam
zróżniczkować. Zapytałem o to prowadzącego, który chwilę się zastanawiał
i odpowiedział, że nie zawsze oraz, że są jakieś funkcje wyjątki, tylko,
że żadnej nie pamięta :) Możecie mi przybliżyć ten problem ?

Drugie pytanie :) Co to znaczy odległość między okręgami ? Ja sądziłem,
że jest to odległość między krawędziami. Tłumaczyłem to sobie, że np.
odległości między planetami (planetoidami) mierzy się według ich
powierzchni, bo inaczej co to mialo by za sens? Okazało się, że jednak
według ich środków. Jak w takim razie zmierzyć odległość między np.
kwadratami ? Według ich środków ciężkości ?

Właściwie to mam jeszcze jedno pytanie, ale nie będę was zamęczał moimi
zapewne durnymi pytaniami :) Dzięki za pomoc :)

Prosta sprawa

Cytat:
Mały problem, uproszczę go maksymalnie:

a*b=max (tego max szukamy)
a+b = 4



Nie określiłeś dziedziny rozwiązań (jakie mają być a i b).
W skrócie z [2] b=4-a i szukasz maksimum funkcji

 f(a) = ab=a*(4-a)=-a^2 + 4a

Jest to funkcja kwadratowa i nawet nie znając pochodnej można
korzystając ze szkolnych wzorów znaleźć wierzchołek paraboli
wykresu tej funkcji -
dla funkcji ax^2+bx+c jest on w punkcie -b/2a , czyli w tym wypadku
dla f(a) jest w punkcie -4/(2*-1) =2, fukcja ma w tym punkcie
ekstremum (i lokalne i globalne).
Jeśli a =2 , to b=4-2=2 i szukana wartość max wynosi 2*2=4

Prośba o pomoc!

Cytat:Oto zadanie:
Napisz równania stycznych do wykresu funkcji f(x)=-x^3+3x^2+x-10 gdy
współczynnik kierunkowy stycznych jest równy 1.



Wskazówka: Współczynnik kierunkowy stycznej do funkcji
jest równy co do wartości pochodnej funkcji w punkcie X0(x0,y0)
tzn jeśli y=ax+b to a=f'(x0).

Prośba o pomoc!

Cytat:Napisz równania stycznych do wykresu funkcji f(x)=-x^3+3x^2+x-10 gdy
współczynnik kierunkowy stycznych jest równy 1.



Nasza funkcja jest rozniczkowalna w zbiorze R. Wspolczynnik kierunkowy
stycznej do krzywej y=f(x) w punkcie (x_0,f(x_0)) jest rowny f'(x_0).
Oblicz wiec pochodna, przyrownaj do 1 i w ten sposob wyznacz punkty,

nie powinno byc juz trudne.

Prośba o pomoc!

Dokładniej jeśli mamy f(x) to równanie stycznej
w punkcie X0( x0, f(x0) ) będzie równe:
y - f(x0)=f `(x0) * (x-x0)
jeśli dobrze pamiętam.

Pozdrowienia
Marcin.

Cytat:| Oto zadanie:
| Napisz równania stycznych do wykresu funkcji f(x)=-x^3+3x^2+x-10 gdy
| współczynnik kierunkowy stycznych jest równy 1.

Wskazówka: Współczynnik kierunkowy stycznej do funkcji
jest równy co do wartości pochodnej funkcji w punkcie X0(x0,y0)
tzn jeśli y=ax+b to a=f'(x0).

--
------------------------------------
Pozdrawiam!
   Łukasz Kalbarczyk

      http://www.piatka.prv.pl
      ICQ: 84004777



Różniczkowanie numeryczne - punkty nierównoodległe

Cytat:Dzień dobry,

czy znacie może jakieś wzory pozwalające obliczyć/oszacować pochodną (np.
pierwszą i drugą) funkcji f(x) w punkcie x na podstawie jej wartości w
punktach x-h1 i x+h2, gdy h1 nie jest równe h2?

Chodzi mi o odpowiedniki/uogólnienia wzorów

f'(x)=(f(x+h)-f(x-h))/2h + 0(h^2)

f''(x)=(f(x+h)-2f(x)+f(x-h))/h^2 + 0(h^2)

działających, gdy punkty, w których znana jest funkcja f, są równoodległe.

Zależy mi na formułach, dzięki którym mógłbym wyliczyć prędkość i
przyspieszenie na podstawie znajomości położenia w chwilach t1, t2, t3,
...
nie tworzących ciągu arytmetycznego.

Z góry dziękuję za pomoc.



Jeśli masz tylko trzy punkty t1, t2, t3 to dopasuj do tego wielomian, a
następnie z tego wielomianu numerycznie wylicz pochodną. No ale podejrzewam
że masz tych punktów więcej i tworzą one coś w rodzaju dyskretnego
odwzorowania prędkości. Tzn. według ciebie masz wykres położenia, no ale
chyba nie masz problemu z zamienieniem wykresu położenia na wykres
prędkości? Jak nie bawiłeś się nigdy w interpolacje wielomianem to w
matlabie są do tego fajne funkcje. Pochodną z wielomianu też można szybko w
matlabie policzyć.

Różniczkowanie numeryczne - punkty nierównoodległe

Cytat:
Jeśli masz tylko trzy punkty t1, t2, t3 to dopasuj do tego wielomian, a
następnie z tego wielomianu numerycznie wylicz pochodną.



I wyjdzie dokladnie tyle ile wyliczylem w poprzednim poscie..

Cytat:No ale podejrzewam
że masz tych punktów więcej i tworzą one coś w rodzaju dyskretnego
odwzorowania prędkości. Tzn. według ciebie masz wykres położenia, no ale
chyba nie masz problemu z zamienieniem wykresu położenia na wykres
prędkości? Jak nie bawiłeś się nigdy w interpolacje wielomianem to w
matlabie są do tego fajne funkcje. Pochodną z wielomianu też można szybko w
matlabie policzyć.



Interpolacja to zazwyczaj nie jest dobra droga. Trzeba aproksymowac
wielomianem odpowiedniego stopnia.

J.

zadanko z wielomianow

Czesc licze sobie zadania maturalne i mam problem z czyms takim:

Dla jakich wartosci parametru m wielomian W(x) = 2x^4 - 2x^3 - 6x^2 + 10x +
m , ma pierwiastek trzykrotny. ? powinno wedlug autora wyjsc dla m = -4.

Z poczatku probowalem to liczyc jakos tak ze skoro ma miec pierwiastek
trzykrony to ma sie dzielic przez (x - a)^3 i wtedy reszta ktora wyjdzie to
ma byc rowna 0 albo obliczenia paskudne i namnozylo mi sie niewiadomoych
wiec pozniej zaczolem tak ze wykresem funkcji musi byc parabola bo jest to
wolomian 4 stopnia aby spelnialo zadanie. Dalej musi miec jedno extremum.
Pochodna jest wielom. stopnia 3 wiec bedzie musiala miec tutaj 1 pierw
dwukrotny i jeden jedno w ktorym bedzie ekstremum. Wychodzi to ladnie bo
pochodna wyglada tak : (x-1)^2(x+5/4). Wtedy mi sie wydawalo ze wystarczy
obliczyc wartosc wielomianu od tego extremum i to ma byc mniejsze od 0 aby
przecinalo os OX.

Bym byl batdzo wdzieczny o wskazowke i co robie zle bo sprawdzajac dla m
= -4 to ekstremum wychodzi -1/2 czemu?

pozdrawiam
navall

zadanko z wielomianow

Cytat:Czesc licze sobie zadania maturalne i mam problem z czyms takim:

Dla jakich wartosci parametru m wielomian W(x) = 2x^4 - 2x^3 - 6x^2 + 10x
+
m , ma pierwiastek trzykrotny. ? powinno wedlug autora wyjsc dla m = -4.

Z poczatku probowalem to liczyc jakos tak ze skoro ma miec pierwiastek
trzykrony to ma sie dzielic przez (x - a)^3 i wtedy reszta ktora wyjdzie
to
ma byc rowna 0 albo obliczenia paskudne i namnozylo mi sie niewiadomoych
wiec pozniej zaczolem tak ze wykresem funkcji musi byc parabola bo jest to
wolomian 4 stopnia aby spelnialo zadanie.



parabola wykresem wielomianu 4-tego stopnia? :0

Cytat:Dalej musi miec jedno extremum.
Pochodna jest wielom. stopnia 3 wiec bedzie musiala miec tutaj 1 pierw
dwukrotny i jeden jedno w ktorym bedzie ekstremum. Wychodzi to ladnie bo
pochodna wyglada tak : (x-1)^2(x+5/4).



a jest m-krotnym pierw wielomianu wtedy i tylko wtedy, gdy jest pochodna
m-1-krotna pierwszej pochodnej, m-2-krotna 2 pochodnej i tak dalej az do
wiel. zerowego. Więc, jeśli jakaś liczba ma być pierw. trzykrotnym
wielomianu gornego, to dwukrotną pochodnej - czyli musi to byc 1 (gdyż jest
to jedyny dwukrotny pierwiastek pochodnej). Podziel więc ów wielomian przez
(x-1)^3 - to już lepiej, niż przez (x-a)^3, chociaz tez by wyszlo. No i
tyle... Żadne ekstrema nie są potrzebne...

Pozdrawiam,

Michał

zadanko z wielomianow

Cytat:| wiec pozniej zaczolem tak ze wykresem funkcji musi byc parabola bo jest
to
| wolomian 4 stopnia aby spelnialo zadanie.

parabola wykresem wielomianu 4-tego stopnia? :0



no moze przesadzilem, ale choci mi o to ze bedzie mala taki sam przebieg
zmiennosci funkcji jak parabola jesli ma miec 2 pierw o krotnosci
nieparzystej

Cytat:a jest m-krotnym pierw wielomianu wtedy i tylko wtedy, gdy jest pochodna



rozumiem ze tutaj mialo byc 'pierwiasteki' zamiast 'pochodna' ?

Cytat:m-1-krotna pierwszej pochodnej, m-2-krotna 2 pochodnej i tak dalej az do
wiel. zerowego. Więc, jeśli jakaś liczba ma być pierw. trzykrotnym
wielomianu gornego, to dwukrotną pochodnej - czyli musi to byc 1 (gdyż
jest
to jedyny dwukrotny pierwiastek pochodnej).



Jakbys mogl uzasadnij czemu tak jest to by bylo super - jakies twierdzenie
to jest? I tez nie za bardzo rozumiem tego bo jesli dobrze mysle to by
wynikalo ze : pozniewaz -54 jest jednokrotnym pierw I pochodnej to jest
2-krotnym pierw. calego wielomianu co nie jest prawda...

.. Żadne ekstrema nie są potrzebne...

Cytat:


Jestem jednak ciekaw dlaczego tez moje rozumowanie jest bledne i za pomoca
ekstremum nie mozna tego tez rozwiazac

pozdrawiam
navall

ekstremum funkcji

Witam,

Cytat:| Mam problem ze znalezieniem najmniejszej i najwiekszej wartosci
funkcji

| f(x) = x - sin(2x)

| I jeszcze podpowiedz: wykres jest symetryczny.

hmm.. rozumiem ze masz na mysli wykres pochodnej? Bo przeciez sin(x)
= -sin(-x)



...a takze x = - (-x). Po prostu symetrie sa rozmaite.

Pozdrawiam,
Jakub Wroblewski

ekstremum funkcji

Cytat:| Mam problem ze znalezieniem najmniejszej i najwiekszej wartosci
funkcji
| f(x) = x - sin(2x)
| I jeszcze podpowiedz: wykres jest symetryczny.
hmm.. rozumiem ze masz na mysli wykres pochodnej? Bo przeciez sin(x)
= -sin(-x)



To też jest symetria.

zadanie z trygonometrii

Cytat:Sin[x]^5 + Cos[x]^5 - Sin[x]^4 + 2=0

(wykres jest nieujemny)

moj jedyny pomysl to taki zeby policzyc pochodna i wyznaczyc minimum.
wartosc dla najmniejszego miniumum bylaby rowna 0 a wiec to by oznaczalo
ze
to jedyne miejsce zerowe (w przedziale 0;2 Pi).

jednakze pochodna jest postaci

Cos[x] Sin[x] (Sin[x]^2(5 Sin[x]-4)-5 Cos[x]^3)

i troche nie wiem co z nia zrobic



Brniesz.

Należy rozważyć s^5 + c^5 i s^4 osobno.

f = s^5 + c^5:
f' = 5s^4*c - 5c^4*s. Zeruje się w miejscach,
w których s=0 lub c=0, a poza tym
(5s^4*c - 5c^4*s = 0 | /5
s^4*c - c^4*s = 0 | /s, zakładamy s <0
s^3*c - c^4 = 0 | /c^4, zakładamy c <0
t^3 - 1 = 0
t^3 = 1
t = 1)
w pi/4 + 2kpi,
czyli ekstrema funkcji f występują dla
x in {kpi / 2} + {pi/4 + 2kpi}.
Z analizy zmienności wynika, że
f(R) = <-1, 1(czyli rzeczywiście wykres jest nieujemny)
i
f = -1 dla x in A = {pi + 2kpi} + {(3/2)pi + 2kpi}

g = s^4:
g(R) = <0, 1
g = 1 dla x in B = {pi/2 + kpi}

Zostaje nam rozwiązać równanie f + g = -2,
ale wystarczy zauważyć, że zbiór rozwiązań
to A*B, czyli {(3/2)pi + 2kpi}.

Przepraszam za skrócony zapis, nie chciało mi się. ;)
Jeśli ktoś zgłosi zastrzeżenia, gotów jestem przepisać
elegancko.

T. D.

PS. Kochamy Pana Moderatora! ;)

======================================= Nota moderatora:

Za co?

badanie funkcji --mam problem.

Cytat:to moze przesle Ci ja na email ?
Pozdrawiam



wszechstronne badanie funkcji to za moich czasów było tzw badanie zmienności
funkcji.
1. ustalenie dziedziny
2. przeciwdziedzina
3. miejsca zerowe
4. granice, asymptoty poziome/pionowe/ukośne
5. pierwsza pochodna, monotoniczność, ekstrema
6. druga pochodna, wypukłość, punkty przegięcia
7. wykres (na podstawie poprzednich 6 punktów nie powinno sprawić problemu)
pozdr.

badanie funkcji --mam problem.

Cytat:| to moze przesle Ci ja na email ?
| Pozdrawiam

wszechstronne badanie funkcji to za moich czasów było tzw badanie
zmienności
funkcji.
1. ustalenie dziedziny
2. przeciwdziedzina
3. miejsca zerowe
4. granice, asymptoty poziome/pionowe/ukośne
5. pierwsza pochodna, monotoniczność, ekstrema
6. druga pochodna, wypukłość, punkty przegięcia
7. wykres (na podstawie poprzednich 6 punktów nie powinno sprawić
problemu)
pozdr.



Do dzisiaj niewiele sie zmienilo ;) ja w liceum mialem dokladnie to
samo - nawet te same punkty ;). Bardzo mila i przyjemna rzecz...

Pozdrawiam
Kobi

Badanie funkcji

Cytat:punkt przegiecia to punkt w ktorym styczna do wykresu funkcji przechodzi z
jednej strony na drugą
aby twierdzic czy takowe istnieja nalezy skorzystac z  f "(x)
i wtedy ewent. go wyznaczyc



Obliczylem druga pochodna funkcji, przyrownalem do 0, ale wlasnie z niej nie
moze mi jakos zaden punkt przegiecia wyjsc.

f"(x)=(6x^9-8x^3+2x)/(x^3-x)^4
f"(x)=0 <=2x(x-1)(x+1)(3x^6+3x^4+3x^2 -1) = 0

0, 1, -1 wypadaja z dziedziny funkcji

i tu mam problem z ostatnim nawiasem. Ten wielomian ma jakies pierwiastki?

Badanie funkcji

| | punkt przegiecia to punkt w ktorym styczna do wykresu funkcji
przechodzi z
| jednej strony na drugą
| aby twierdzic czy takowe istnieja nalezy skorzystac z  f "(x)
| i wtedy ewent. go wyznaczyc
|
| Obliczylem druga pochodna funkcji, przyrownalem do 0, ale wlasnie z niej
nie
| moze mi jakos zaden punkt przegiecia wyjsc.
|
| f"(x)=(6x^9-8x^3+2x)/(x^3-x)^4
| f"(x)=0 <=2x(x-1)(x+1)(3x^6+3x^4+3x^2 -1) = 0
|
| 0, 1, -1 wypadaja z dziedziny funkcji
|
| i tu mam problem z ostatnim nawiasem. Ten wielomian ma jakies
pierwiastki?
|
| --
| Pozdr.
| Jacek Te.
|

juz za pozno, jutro sie zastanowie,,, chyba ze ktos chce myslec teraz i Ci
powie

Pomocy

wogóle jej dziedzina to <-3^1/2;0łącznie z <3^1/2;+nieskończoności?
Ok nie ma asymptot
jeżeli chodzi o pierwszą pochodną to mi wyszło maximum w punkcie (-1, 2^1/2)
i funkcja rośnie w przedziale <-3^1/2;-1i maleje  <-1,0oraz że rośnie w
przedziale <3^1/2;+nieskończoności
nie wiem czy to dobrze mi wyszło
jeżeli chodzi o drugą pochodą to nie mam pojęcia, a to ważne bo ona określa
kształt wykresu

proszę o pomoc grupowiczów

Pomocy

Cytat:
wogóle jej dziedzina to <-3^1/2;0łącznie z <3^1/2;+nieskończoności?
Ok nie ma asymptot
jeżeli chodzi o pierwszą pochodną to mi wyszło maximum w punkcie (-1,
2^1/2)
i funkcja rośnie w przedziale <-3^1/2;-1i maleje  <-1,0oraz że rośnie
w przedziale <3^1/2;+nieskończoności
nie wiem czy to dobrze mi wyszło
jeżeli chodzi o drugą pochodą to nie mam pojęcia, a to ważne bo ona
określa kształt wykresu

proszę o pomoc grupowiczów



funkca ta rosnie szybciej niz x wiec nic dzisnego, ze asymptot ukosnych
nie ma..

Ale co masz na mysli piszac,ze nie masz pojecia o drugiej pochodnej..

przeciez to pochodna z pierwszej...
ie zdziwilbym sie, gdyby nie mialo miejsc zerowych..

Boguslaw

Pomocy

Sorki, za  taką ostrą opinię
ale przecież wiem takie podstawowe rzeczy o asymptotach jakie są i jak się
je bada noi co to jest 2 pochodna, masz rcaje że może pytania były
niefortunnie zadane i stąd takie sprzeczki.

Zrobiłem to zadanie do końca i rzeczywiście pierwsza część wykresu to
góreczka w pewnym przedziale, a druga częśc coś podobnego z tym że jest
punkt przegięcia a pewnym momencie ale funkcja rośnie cały czas do +niesk.
Oddałem tą pracę zobaczymy co z tego wyjdzie!
pozdrawiam i przepraszam
Łukasz

Prostopadla (w jakims punkcie) do elipsy?

Witam!

Sluchajcie wlasnie sobie przypomnialem, ze zapomnialem w miare podstawowa
wiedze matematyczna. Chodzi mi dokladnie o pochodne i rownania prostopadlych
do wykresow. No, ale do rzeczy...

Mam elipse i musze policzyc prostopadle do niej w kazdym punkcie. Pytanie
jak to zrobic? Nie jest to takie proste (dla mnie) bo elipsa nie jest wcale
funkcja. Trzeba ja dzielic, tak zeby dalo sie to ugryzc. Problem w tym, ze
wszystko mi z glowy wylecialo. Czy moglibyscie mnie jakos wspomoc? Bede
wdzieczny :)

Nie prosze tu o jakies pelne rozwiazanie, ale o naprowadzenie na dobry tor.

Z gory dziekuje!

2 pytania z analizy

Cytat:
Organization: news.onet.pl
Newsgroups: pl.sci.matematyka

Subject: Re: 2 pytania z analizy

| | | Witam,
| mam takie 2 pytania:
| 1) chyba dosyć elementarne, ale nigdzie nie moge znalezc
| odpowiedzi - czy jezeli funkcja jest ciagla w przedziale
| <a, bi rozniczkowalna w (a, b) to pochodna jest ciagla?
| Moim zdaniem tak, bo w przeciwnym przypadku funkcja w
| punkcie nieciaglosci musialaby miec "ostrze", czyli nie
| miala by tam pochodnej ...

| Nie.

| Kontrprzyklad: abs(x) w R

Pudło. Funkcja ma być różniczkowalna(!) w (a,b).
Kontrprzykład:
f(x) = (x^2) * sin(1/x) dla x niezerowych, 0 dla x=0.



Wypada jeszcze powiedzieć, że pochodna wprawdzie nie musi być ciągła, ale
musi mieć właściwość Darboux.  Dlatego w punkcie nieciągłości pochodnej nie
może być ostrza, tylko obrazek rozmazany (domknięcie wykresu pochodnej
będzie spójno, ale zawiera odcinek pionowy).

Pozdrawiam
Krzyś

Kiedy metody Newtona ekstra szybko zbiegaja?

(Mam na mysli zarowno metode Newtona,
jak i jej wariacje, gdy znamy pochodna
w aproksymowanym punkcie zerowym funkcji).

Odpowiedz geometryczna jest prosta:
kiedy prosta styczna do wykresu
funkcji w punkcie zerowym scisle
przylega do wykresu, to znaczy:
ma kontakt rzedu co najmniej dwa
(zakladamy przy tym, ze nie jest
osia x-ow, nie jest pozioma).

Analitycznie oznacza to, ze
druga pochodna w punkcie zerowym
znika (a gdyby jeszcze tak trzecia zechciala
lub jeszcze kolejne, wyzsze, to juz w ogole
byloby przecudownie).

Teraz widzimy, dlaczego iteracje funkcji

      f(x) := x + cos(x)
lub

      nwt(c) := x + ctg(x)    (nieco gorsze)

tak dobrze przyblizaja  pi/2.  Bo  pi/2  jest
punktem przegiecia funkcji  cosinus  w jej
punkcie zerowym  po/2.

Gdy druga pochodna jest zero (a pierwsza
rozna od zera), to kazda iteracja
prowadzi od bledu  err  do bledu
rzedu  err^3.

Tak wiec dla szybkiego przyblizania  pi
nalezy znalezc w miare prosta funkcje
trygonometryczna,  ktora ma wymierna
wielokrotnosc  pi  za swoje miejsce
zerowe, przy czym ma niezerowa w nim
pochodna oraz zerowe pochodna druga i trzecia.

No to do roboty (hm, juz 4:20 am :-)

Pozdrawiam,

    Wlodek

PS. Gdy druga pochodna w aproksymowanym
zerze funkcji jest rozna od zera, to jedna
iteracja daje tylko redukcje bledu od  err
do bledu rzedu  err^2.  To jest generyczna,
naczesciej spotykana sytuacja.

styczne do paraboli

Cytat:| 1) W jakim punkcie styczna do paraboli y = x^2 + 4x jest rownolegla do
osi
| OX?

Witam!
Zeby nie bylo niejasnosci - to co pisze na grupe to co najwyzej 1/10 tego
co
sam robie w domu, a to co robie jest jakby ponadprogramowe, tzn. tak
naprawde to wcale nie musze tego robic, bo w szkole to przerabiam teraz
rownania rozniczkowe

w zadaniu pierwszym, z rownania stycznej, ktora jest rownolegla do OX (a
wiec f'(x_0) = 0) wychodzi mi cos takiego

y - y_0 = 0(x - x_0)

czyli y = y_0

ale co dalej?

Jest rownolegla dla dowolnego y? Tu jest cos nie tak!

Radziu



Ta... przerabiasz rownania rozniczkowe, a nie bardzo wiesz, czym jest
pochodna funkcji w punkcie. Wartosc pochodnej funkcji w x0 to wspolczynnik
kierunkowy stycznej do wykresu funkcji w x0. Zrozniczkuj x^2+4x, dostaniesz
2x + 4. Jak zauwazyles, to musi byc rowne zeru.
2x0 + 4 = 0
x0 = -2
Sposob II, bez uzycia pochodnych:
Latwo zauwazyc, ze styczna do paraboli moze byc rownolegla do osi OX tylko w
wierzcholku paraboli. Parabola y=x^2 + 4x ma wierzcholek o wspolrzednych
(-2, -4).
To chyba nie bylo takie trudne. Zwlaszcza, ze biorac pod uwage twoj poziom
zaawansowania, miales to juz na lekcjach i to pewnie nie raz.

Krzysan

styczne do paraboli

Cytat::
| Latwo zauwazyc, ze styczna do paraboli moze byc rownolegla do osi OX
tylko
w
| wierzcholku paraboli. Parabola y=x^2 + 4x ma wierzcholek o wspolrzednych
| (-2, -4).

w jaki sposob wyliczyles takie wspolrzedne wierzcholka
bo mi cos innego wyszle ale jak znam zycie to Ty masz racje
pozdrawiam



Najprosciej i jak dla mnie najlatwiej do zapamietania: przez wierzcholek
paraboli przechodzi jej os wymetrii. W szczegolnosci wzgledem tej osi
symetryczne sa pierwiastki wielomianu dane wzorami x1 = (-b -
sqrt(b^2-4ac)/2a i x2 = (-b + sqrt(b^2 - 4ac)/2a.
Czyli os symetrii lezy dokladnie pomiedzy pierwiastkami trojmianu
kwadratowego. Wyznaczona jest wiec przez rownanie x = -b/2a, czyli przez
srednia arytmetyczna wspolrzednych pierwiastkow. I faktycznie, taka prosta
pionowa oddalona jest od obydwu pierwiastkow o sqrt(b^2-4ac)/2a.
Pierwiastki dwumianu x^2 + 4x to 0 i -4. Wierzcholek lezy miedzy nimi i ma
wspolrzedna x-owa -2.
Mozesz tez policzyc pochodna trojmianu kwadratowego:
(ax^2 + bx + c)'=2ax + b, co musi sie zerowac w wierzcholku, gdyz tam
styczna do wykresu funkcji jest pozioma.
2ax + b=0
x= -b/2a
Ostatecznie mozna zapamietac gotowy wzor:
A jest wierzcholkiem paraboli y=a^2*x + bx + c, przy czym a<0 <=
A=(-b/2a, -b^2/4a + c).

Pozdrawiam,

Krzysan

zadanko

Cytat:Cześć

Mam prośbę, nie mogę rozwiązac zadania dla większości z was będzie to
proste, ale niestety nie dla mnie.Czy ktoś mi może pomóc?

Zadanie:Znależć równanie prostej przechodzącej przez punkt A(2,3) i
stycznej do paraboli y=xdo kwadratu



cze

najpierw policz pochodna funkcji czyli y'=2x

pozniej podstaw do wzoru i to bedzie:

y-3=2*2(x-2)
 uporzadkuj i masz styczna do wykresu

Pozdrawiam;]]]

funkcje równe swoim pochodnym

Cytat:a co z funkcjami (n=3) t.że:
pochodna stopnia 3k funkcji f w 0 = 5
pochodna stopnia 3k+1 funkcji f w 0 = 1
pochodna stopnia 3k+2 funkcji f w 0 = 1
dla k=0?
nie będzie to komb.lin. e^x czy sin(x)
każda liczba pierwsza będzie miała "swoje" funkcje, nie będące komb.lin
fun.
dla mniejszych n
chyba że się mylę...



Takie funkcje oczywiście istnieją - np. ta o której piszesz wygląda tak:

f(x) = sum_{n=0}^{oo} (5*x^(3n)/(3n)! + 1*x^(3n+1)/(3n+1)! +
1*x^(3n+2)/(3n+2)!)

trudniej jednak o "ładną" postać tej funkcji. Możnaby ją otrzymać jako
kombinację liniową funkcji, które mają w punkcjie 0 niezerową jedynie 3n+k
pochodną dla k in {0, 1, 2} - może na nie wzory nie są bardzo złożone...

Z tego, co zauważyłem rysując wykresy takich funkcji, to jeśli n jest
parzyste - wykres funkcji jest z wyglądu podobny do e^x + e^(-x), jeśli
natomiast n jest nieparzyste, to wygląda jak e^x + e^(-x) * sin(x)

pzdr.
Sliwtan

monotonicznosc

Cytat:

Dla jakiej wartosci parametru m, funkcja

              x^2 + (m^2 -3)x +4 -2m   , x=1
f(x)={                                                            }
              (m-1)x +m                         , x<1

a) przyjmuje wartosci dodatnie w zbiorze R
b) jest monotonczna w zbiorze R
c) narysuj jej wykres, gdy jest ona rowniez rozniczkowalna

Nie wiem jak zabrac sie za podpunkty b i c
funkcja ma byc monotoniczna, czyli iloraz roznicowy ma byc =0 lub <=0



No właśnie to zależy. Monotoniczna nie musi byś ściśle rosnąca czy malejąca,
czyli nierówność nie musi być ostra. Zazwyczaj w książkach do analizy
rozróżnia się monotoniczność i ścisłą monotoniczność.

W zadaniach w szkole średniej autorzy zazwyczaj jednak mówiąc
'monotoniczna' - przyjmują, że jest to funkcja ściśle monotoniczna - to tak
z własnego, skromnego, doświadczenia.

Funkcja będzie monotoniczna, gdy będzie rosnąca (dlaczego)?
m-1 0.
(3-m^2)/2 <= 1
lim(x-1-) f(x)<=lim(x-1+) f(x)

Co do różniczkowalności to po prostu popatrz co się dzieje w punkcie 1.
Napisz odpowiedni warunek (pochodna prawostronna musi równać się pochodnej
lewostronnej - policz to sobie z definicji).

monotonicznosc

Cytat:| Dla jakiej wartosci parametru m, funkcja

|               x^2 + (m^2 -3)x +4 -2m   , x=1
| f(x)={                                                            }
|               (m-1)x +m                         , x<1

| a) przyjmuje wartosci dodatnie w zbiorze R
| b) jest monotonczna w zbiorze R
| c) narysuj jej wykres, gdy jest ona rowniez rozniczkowalna
No właśnie to zależy. Monotoniczna nie musi byś ściśle rosnąca czy malejąc
a,
czyli nierówność nie musi być ostra. Zazwyczaj w książkach do analizy
rozróżnia się monotoniczność i ścisłą monotoniczność.

W zadaniach w szkole średniej autorzy zazwyczaj jednak mówiąc
'monotoniczna' - przyjmują, że jest to funkcja ściśle monotoniczna - to ta
k
z własnego, skromnego, doświadczenia.

Funkcja będzie monotoniczna, gdy będzie rosnąca (dlaczego)?



ale monotoniczna, to znaczy ze moze tez byc: malejaca, nierosnaca i niemalej
aca?
Cytat:m-1 0.
(3-m^2)/2 <= 1  <- nie za bardzo wiem skad to sie wzielo:/
lim(x-1-) f(x)<=lim(x-1+) f(x)

Co do różniczkowalności to po prostu popatrz co się dzieje w punkcie 1.
Napisz odpowiedni warunek (pochodna prawostronna musi równać się pochodnej
lewostronnej - policz to sobie z definicji).



Krzywa Gaussa

Cytat:Sorki, za ewentualnę chaotyczność w sformułowaniu problemu.
Mam pewne dane, których wykres przypomina "na oko" krzywą Gaussa. Problem
w tym, że wydaje mi się iż tylko w pewnym przybliżeniu przypomina.



rozwiazanie zalezy od tego jak wygladaja te dane.

jezeli sa to probki generowane niezaleznie z pewnego rozkladu normalnego,
tzn kiedy histogram przypomina krzywa gaussa to nalezy zastosowac jakis test
na rozklad normanly empirycznej dystrybualny (chi^2, shapiro-wilk, pochodne
testu kolmogorowa).

jezeli to jest problem regresji nieliniowej, tzn dla pewnego zbioru x
obserwuje sie y = f(x,a)+epsilon
gdzie f jest krzywa gausa dla pewnych parametrow to wtedy parametry a
najprosciej wyznaczyc metoda momentow.
tzn, jezeli zaklocenia sa niezalezne od x to mamy:

1. int xy = int x f(x,a)
2. int x^2y = int x^2f(x,a)

gdzie calkowanie jest po R. Calki z prawej strony nalezy policzyc
teoretycznie, calki z lewej strony sa szacowane z proby, czyli sa to
odpowiednio srednia z proby i srednia suma kwadratow.
jezeli f jest gestoscia rozkladu normalnego, wtedy calki z prawej strony sa
prostymi funkcjami wartosci oczekiwanej i wariancji rozkladu.

dla problemu regresji nie da sie okreslic stopnia dokladnosci dopasowania
innego niz blad sredniokwadratowy, w szczegolnosci nie mozna odpowiedziec na
pytanie z jakim prawdopodobienstwem f nalezy do rodziny funkcji gaussa.
Chyba, ze znasz prawdziwa wariancje epsilon (lub szacowana, ale juz
okreslona przez procesem liczenia regresji).

Ciekawe wykresy funkcji y=...

Tu masz kilka wykresów (+ pochodne i funkcje pierwotne - całki):

http://nat.mikrus.pw.edu.pl/~gromek/wykresy/rozne/01.gif
http://nat.mikrus.pw.edu.pl/~gromek/wykresy/rozne/02.gif
http://nat.mikrus.pw.edu.pl/~gromek/wykresy/rozne/03.gif
http://nat.mikrus.pw.edu.pl/~gromek/wykresy/rozne/04.gif
http://nat.mikrus.pw.edu.pl/~gromek/wykresy/rozne/05.gif
http://nat.mikrus.pw.edu.pl/~gromek/wykresy/rozne/06.gif
http://nat.mikrus.pw.edu.pl/~gromek/wykresy/rozne/07.gif
http://nat.mikrus.pw.edu.pl/~gromek/wykresy/rozne/08.gif
http://nat.mikrus.pw.edu.pl/~gromek/wykresy/rozne/09.gif
http://nat.mikrus.pw.edu.pl/~gromek/wykresy/rozne/10.gif
http://nat.mikrus.pw.edu.pl/~gromek/wykresy/rozne/11.gif
http://nat.mikrus.pw.edu.pl/~gromek/wykresy/rozne/12.gif
http://nat.mikrus.pw.edu.pl/~gromek/wykresy/rozne/13.gif
http://nat.mikrus.pw.edu.pl/~gromek/wykresy/rozne/14.gif
http://nat.mikrus.pw.edu.pl/~gromek/wykresy/rozne/15.gif

(kiedyś były mi potrzebne, a teraz tak sobie leżą)

Pozdrawiam,
Mariusz

Trygonometria


Cytat:| y=sin2x+cos2x
| y=sinx*sin(x-pi/4)

| Mamy dane równanie y=sin2x+cos2x. I co z nim zrobić ? Wyliczyć pi ?

rozwiązywzadań polega na znaldowaniu wartości x dla których y=0



Nie. Rozwiązywanie zadań NIE polega na znajdowaniu wartości x, dla których
y=0. Rozwiązywanie zadań polega na wykonaniu poleceń zawartych w treści
zadania. W tym przypadku takiej treści nie podano. I nie jest to "czepianie
się" - z funkcją  y=sin2x+cos2x można zrobić 1000 rzeczy - np. :
- narysować wykres
- obliczyć pochodną
- znaleźć ekstrema (max i min)
- znaleźć punkty przegięcia (obliczyć 2 pochodną)
- znaleźć miejsca zerowe (czyli "znaleźć wartość x, dla której y=0")
- rozwinąć w szereg
- znaleźć funkcję odwrotną
- znaleźć całkę z tej funkcji
- i jeszcze 992 inne rzeczy :-)
Skąd ja mam wiedzieć, "co poeta miał na myśli" ?

Cytat:co do wyliczenia pi to coś nie rozumiem o co chodzi jak to wyliczyć
pi ? pi jest raczej liczbą nam znaną



Nieważne, przepraszam.

Pozdrawiam.
Piotr.

Wklęsłość i wypukłość funkcji

Cytat:Witam, to znowu ja
Kiedy funkcja jest wypukła a kiedy wklęsła

1) f''(x)<0 wklęsła, f''(x)0 wypukła, czy
2) f''(x)0 wklęsła, f''(x)<0 wypukła

pozdrawiam



Zawsze miałem zgrzyt, gdy uczono mnie, że funkcja jest wypukła, gdy
ma "krzywiznę" skierowaną w dół. Pewnie wynikało to z kojarzenia z wypukłością
na drogach, skierowaną ku górze. Dopiero przekonała mnie do tej koncepcji
następująca definicja: f jest wypukła w przedziale P wtedy, gdy zbiór {(x,y);
x in P & y f(x)} jest zbiorem wypukłym. Innymi słowy f jest wypukła, gdy
wupukły jest słup pionowy nad wykresem tej funkcji. Wówczas (o ile f posiada
II pochodną) f jest wypukła, gdy f'' 0.

Wklęsłość i wypukłość funkcji

Cytat:
| Witam, to znowu ja
| Kiedy funkcja jest wypukła a kiedy wklęsła

| 1) f''(x)<0 wklęsła, f''(x)0 wypukła, czy
| 2) f''(x)0 wklęsła, f''(x)<0 wypukła

| pozdrawiam

Zawsze miałem zgrzyt, gdy uczono mnie, że funkcja jest wypukła, gdy
ma "krzywiznę" skierowaną w dół. Pewnie wynikało to z kojarzenia z
wypukłością na drogach, skierowaną ku górze. Dopiero przekonała mnie do
tej koncepcji następująca definicja: f jest wypukła w przedziale P wtedy,
gdy zbiór {(x,y); x in P & y f(x)} jest zbiorem wypukłym. Innymi słowy f
jest wypukła, gdy wupukły jest słup pionowy nad wykresem tej funkcji.
Wówczas (o ile f posiada II pochodną) f jest wypukła, gdy f'' 0.



Ale rownie przekonujace jest, ze jest wypukla gdy POD NIA
jest figura wypukla..
Tak jest bardziej "zyciowo"..
Prawde mowiac nei wiemjakie wzgledy zdecydowaly, ze wlasnie
matematycy "przeszli" nad funkcje..

Boguslaw

dlugosc sinusoidy w przedziale

Cytat:
| l = calka od A do B z | f '(x) | dx

| Dla sinusa musisz rozpatrzyc najpierw wszystkie pelne okresy, nastpnie
| obliczyc to co zostanie.

| A f'(x) co oznaczyles? Pochodna tamtej funkcji podcalkowej czy sinusa? Chyba
| nie rozumiem jeszcze. I czy funkcje pierwotna jakos z tego wyciagnac mozna?

to jest wzor na dlugosc krzywej bedacej wykresem funkcji f.



Nie bardzo.

Całka


Cytat:Baretek Knapik:

| Twoje, Wlodku, podejscie do tego w jaki sposob poznawac wiedze dot.
| calek jest bardzo praktyczne. Powiedzialbym, ze zdefiniowanie
logarytmu
| naturalnego jako calki oznaczonej z f(x)=1/x jest bardziej praktyczne
| niz liczenie pola pod wykresem (z punktu widzenia czysto
matematycznego,
| koledzy fizycy :-) ).

Nie widze specjalnej roznicy pomiedzy calka oznaczona
z funkcji dodatniej i polem pod wykresem. To to samo,
tyle, ze pojecie calki jest latwiejsze, bo mniej sie
od niego wymaga.



Ja tak samo, zdaje sobie z tego sprawe. Mnie chodzilo o cos innego,
pewnie nie udalo mi sie tego dokladnie i klarownie wyrazic. Plus tego
podejscia jest taki, ze juz od poczatku pojawia sie konkretne,
praktyczne zastosowanie. Po prostu, z moich obserwacji np. w szkole,
kiedy poznawalismy calke w sposob standardowy (pochodna -calka
nieoznaczona -calka oznaczona) dla wielu osob byla to 'sztuka dla
sztuki'. Byc moze zdefiniowanie logartymu (ktory byl juz dla nich
bardziej uzyteczny) za pomoca calki oznaczonej bardziej by ich do niej
przekonalo. Mnie tutaj chodzilo tylko i wylacznie o to, ze Twoje
podejscie mogloby zmienic podejscie wiekszosci uczniow liceow do calek i
do analizy w ogole.

Jak obliczyc pochodna z funkcji f(x) do g(x) - dzieki serdeczne, ale pomozcie jeszcze raz

Generalnie chce dowiesc, ze

(1 + 1/x) ^ x <= e
dla x = 1

Wiem, ze
1. lim x -oo (1 + 1/x) ^ x = e
2. dla x = 1 i x =2 jest to prawdziwe.

Chodzi o to, aby dowiesc, ze wykres tej funkcji bedzie zawsze pod wykresem
f(x) = e,
czyli, zeby wykluczyc np., ze (1 + 1/x) ^ x dazy do e oscylujac pomiedzy e - epsilon, e + epsilon.

Probowalem policzyc pochodna i pokazac, ze pochodna zawsze bedzie 0,
stad moje poprzednie pytanie o pochodna. Ale obliczona pochodna przybrala
postac a * (b  -  c),
i ten minus mnie powalil.

Pozdrawiam
Janek

*******************UWAGA*******************
Niniejsza informacja wraz ze wszystkimi załącznikami moze byc poufna  lub
z prawnie ograniczonym dostępem. Jest ona przeznaczona wyłącznie dla
wskazanej z imienia i nazwiska osoby/osób, która/e jest/są  jej
wyłącznym/i adresatem/ami. W razie omyłkowego przesłania Ci  tej
informacji, Twoim obowiązkiem jest niezwłoczne zniszczenie powyższej
informacji bez zapoznania się z jej treścią i bez jej kopiowania oraz
natychmiastowe poinformowanie jej nadawcy o zaistniałej sytuacji.
Uprzejmie dziękujemy za Twoją pomoc.
************** PLEASE NOTE ***************
This message, along with any attachments, may be confidential or legally
privileged.  It is intended only for the named person(s), who is/are the
only authorized recipients. If this message has reached you in error,
kindly destroy it without review and notify the sender immediately. Thank
you for your help.
***********************************************

jak to zrobic i dlaczego tak?

Cytat:
| Znowu mam  problem z zadaniami,
| jezeli ktos wie prosze o pomoc.

| 1. Numer wyrazu rozwiniecia dwumianu (pierw 3stopnia z x + 2/x)^12
|  w którym nie wystepuje x wynosi?

dla jakich a i b takich, że a + b = 12:
(x^(1/3))^a * (2/x)^b = coś bez x

| 2. Styczna do wykresu funkcji y=R(sqrt(R^2-x^2)) w punkcie
|  o odcietej x=R/sqrt2 jest nachylona do osi OX pod katem?

nachylenie stycznej chyba kojarzy się z pochodnymi...
a poza tym to czego wykresem jest ta funkcja...?



Uhm - ale jak liczy sie pochodna np 3sqrt(x^2)? Tzn z pierwiastkiem?
Cytat:

| 3. Dla jednakowo prawdopodobnych zdarzen A i B prawdopodobienstwo ich
| sumy P(AuB)=1
| a P(AnB)=0. Wynika stad, ze:
| a) P(A)<lub= 1/2
| b) P(A) 1/3
| c) A i B sa niezalezne

nie pamiętam jak to było definiowane w tym prawdopodobieństwie, ale ja bym
stawiał na c.



moze byc dowolna kombinacja odpowiedzi, nie tylko c

Cytat:

| 4. Liczba 200!/100!100! dzieli sie przez:
| a)101
| b)97
| c)11

czy a, b, c pojawiają się w rozkładzie licznika, rozkładzie mianownika i ile
razy, jakie to ma konsekwencje?



nie rozumiem

Cytat:pzdr.
Sliwtan



--
Wysłano z serwisu OnetNiusy: http://niusy.onet.pl

Calki....

Cytat:
| Czy ktos moglby wyjasnic mi (po ludzku) co to jest calka? Nie mialem
| jeszcze czegos takiego w szkole, a chcialbym wiedziec :-))

W Dużym skrócie odwrotnoÂść pochodnej.

(x^2)' = 2x

Całka(2x)= (x^2)+c



To prawda, ale jest to definicja calki nieoznaczonej, ktora jest funkcja.

Istnieje jeszcze calka oznaczona Riemana, ktora jest liczba. Dla
okreslonych granic calkowania (ktore sa niczym innym jak dwiema
wartosciami argumentu danej funkcji) calka oznaczona jest, w pewnym
uproszczeniu polem obszaru zawartego pod wykresem funkcji w danych
granicah (pod wykresem nalezy rozumiec jako pomiedzy wykresem i osia OX,
gdy funckja ma wartosc ujemna to pole to bierze sie ze znakiem -)

Dowodzi sie (nazywa sie to Podstawowe Twierdzenie Rachunku Calkowego), ze
calka oznaczona Riemana jest rowna roznicy wartosci calki nieoznaczonej
w gornej granicy - wartosc calki nieoznaczonej w dolnej granicy.

tez na priva)

pochodna funkcji w punkcie.

Cytat:czy ktos mógłby szybciutko policzyc ile wynosi pochodna funkcji w punkcie
x0=0
funkcja: f(x)=sqrt(x^2+1)
Mam dwa wyniki i nie wiem, który jest dobry



f'(sqrt(x^2+1))=x/sqrt(x^2+1)[x=0]=0

A tak w ogóle, to jaki kąt tworzy styczna do wykresu
z osią OX w punkcie x=0???

pochodna funkcji w punkcie.

"I stała sie światłość."

| czy ktos mógłby szybciutko policzyc ile wynosi pochodna funkcji w
punkcie
| x0=0
| funkcja: f(x)=sqrt(x^2+1)
| Mam dwa wyniki i nie wiem, który jest dobry

f'(sqrt(x^2+1))=x/sqrt(x^2+1)[x=0]=0

A tak w ogóle, to jaki kąt tworzy styczna do wykresu
z osią OX w punkcie x=0???

--

 | (._[~]           JSIM MIM UW $ http://212.75.102.246
 |~|) |~~|   "Imperare sibi maximum est imperium..."  (Seneka Mł.)

wart. najm. i najw. przy jednym m.zerowym


Cytat:

| Jakie wartości przyjmuje ta pochodna w pobliżu swojego miejsca zerowego?

w poblizu tzn w otoczeniu? na prawo dodatnia, na lewo ujemna, patrzac na
wykres arc tgx ale to chyba nie o to pytasz? :|



O to :)

A co to oznacza dla funkcji, że jej pochodna jest gdzieś (np w jakimś
przedziale) dodatnia/ ujemna?

Cytat:

dowiedzialem sie, ze liczy sie druga pochodna i podstawia za x:
a) miejsce zerowe z pierwszej pochodnej
b) wartosc f(x0)

a potem sprawdza sie znak otrzymanej liczby - jesli jest minus to f(x0)
jest to wart. najwieksza a jesli dodatnia to jest to wartosc najmniejsza.

Tylko nie wiem, czy wersja a) czy b) i czy dalej dobrze rozumuje?



Tak też można próbować...
Akurat a). Tylko co gdy f''(x0)=0???

Kasia

Pochodna help

Cytat:
Jak udowodnic ze jezeli funkcja jest rozniczkowalna w karzdym punkcie
i jest parzysta to jej pochodna jest nieparzysta.



Z definicji. Majac wykres funkcji w pewnym otoczeniu punktu x oraz
styczna w tymze punkcie znajdz styczna w punkcie -x.

Cytat:Wiem ze jesli jest pazysta to jej rownanie jest stopnia parzystego
wiec pochodna jest stopnia nieparzystego ale to nic nie dowodzi



Jakie rownanie?...

Jak zdefiniować pojęcie stycznej

Cytat:
W wielu podręcznikach podaje się interpretację geometryczną pochodnej
funkcji w punkcie wykorzystując do tego pojęcie stycznej. Mówi się, że
pochodna funkcji w punkcie to tangens kata nachylenia stycznej do osi OX.
Pojecie stycznej musi więc być zdefiniowane wcześniej. Jak to zrobić?
Definicja mówiąca, że "styczna to graniczne położenie siecznej" odpada
ponieważ sformułowanie "graniczne położenie" nie jest precyzyjne.
Pozdrawiam  Eugeniusz Jakubas



1. Graniczne polozenie siecznej jest precyzyjne:

1a) sieczna do wykresu funkcji y=f(x) w punktach x=a, x=b jest prosta
przechodzaca przez punkty (a, f(a)) i (b,f(b)), czyli wykres funkcji
liniowej

y =[ (f(b) - f(a))/(b-a)](x-a) + f(a).

1b) graniczne polozenie dla x = t to wykres funkcji liniowej, ktorej
rownanie ma po prawej stronie granice (podwojna!) wyrazenia po prawej
stronie powyzszego przy a ---t i b---t.

1c) mozna zdefiniowac styczne jednostronne, jako pojedyncze granice,
np. przy a ----t dla b=t.

2. Najzwyklejsza w swiecie definicja stycznej do wykresu funkcji w
x=t: taka prosta y=ax+b, ze at + b = f(t) granica przy h ---0 z

(f(t+h) - [a(t+h) +b])/h

jest rowna 0.

Z powazaniem
Marek Szyjewski

                 My, samotnicy, powinnismy trzymac sie razem!

WEŹMIESZ UDZIAŁ ?

chciałbym wiedziec czy dobrze rozwiazuje to zadanie
f(x)=ln(ln(abs(sinx)))        abs-wartosc bezwzględna
abs(sin(x)) nalezy do <0,1
poniewaz argument ln(x) musi byc wiekszy od 0 bez 1 przy czym dla x
nalezacego do(0,1) ln(x)<0 a dla x nalezacego  do (1,+niesk) to
ln(abs(sinx)) zawsze bedzie mniejszy od zera a wtedy ln z ln(abs(sinx))czyli
liczby ujemnej nie bedzie istnial
tak wiec nie mozna policzyc pochodnej,narysowac jej wykresu ani wykresu
funkcji.

mam tez jedno putanie: jak sie liczy pochodna wartosci bezwzglednej np
f(x)=abs(sinx)   mi sie wydaje ze takie funkcje nie sa rozniczkowalne

pozdrawiam

Cytat:

[ciach]

| Podam takie zadanie, które można na parę sposobów powykręcać (tzn. ułożyć
podobne
| nowe zadania):
| Obliczyć pochodną funkcji f(x) = sqrt(-4x^2+12x-9).

| --
| Serdecznie pozdrawiam, Szymek

f(x) = ln(ln(|sin(x)|))

1. Obliczyc pochodna.
2. Narysowac wykres pochodnej.
3. Narysowac wykres samej funkcji f.

Z powazaniem
Marek Szyjewski

                 My, samotnicy, powinnismy trzymac sie razem!



WEŹMIESZ UDZIAŁ ?

Cytat:chciałbym wiedziec czy dobrze rozwiazuje to zadanie
f(x)=ln(ln(abs(sinx)))        abs-wartosc bezwzględna
abs(sin(x)) nalezy do <0,1
poniewaz argument ln(x) musi byc wiekszy od 0 bez 1 przy czym dla x



Podstawa ma byc rozna od 1, a ln1=0

Cytat:nalezacego do(0,1) ln(x)<0 a dla x nalezacego  do (1,+niesk) to
ln(abs(sinx)) zawsze bedzie mniejszy od zera a wtedy ln z ln(abs(sinx))czyli
liczby ujemnej nie bedzie istnial
tak wiec nie mozna policzyc pochodnej,narysowac jej wykresu ani wykresu
funkcji.



Tak. Po prostu napis ln(ln|sin x|)) niczego nie określa, bo nie ma
sensu liczbowego dla liczb rzeczywistych x.
Cytat:
mam tez jedno putanie: jak sie liczy pochodna wartosci bezwzglednej np
f(x)=abs(sinx)   mi sie wydaje ze takie funkcje nie sa rozniczkowalne



Ta funkcja jest rozniczkowalna dla wszystkich x oprocz tych postaci kpi,
gdzie k jest calkowite. Dla xin (2kpi, (2k+1)pi) mamy f(x)=sinx,
f'(x)=cos x. Dla xin ((2k-1)pi, 2kpi) mamy f(x)=-sin x, f'(x)=-cos x.
Dla x=kpi funkcja f ma w punkcie x "ostrze", wiec nie ma tam pochodnej.
Istotnie, jesli x=2kpi, to dla y<x mamy f'(y)=-cos y, co przy y-x- zmierza
do -cos 2kpi = -1. Dla yx mamy f'(y)=cos y, co co przy y-x+ zmierza
do cos 2kpi = 1. Dlatego pochodne jednostronne w punkcie x=2kpi nie sa
rowne, co oznacza, ze nie istnieje w tym punkcie pochodna funkcji f.
Podobnie dla x=(2k+1)pi. Powyzsze uzasadnienie mozna tez oprzec na zbadaniu
granic jednostronnych ilorazu roznicowego funkcji f.

pochodna- pomocy!!!!!

Witam

Nęka mnie jedna rzecz, która blokuje mi dalsze zgłębianie sie w temat
pochodnej. Chodzi o interpretację graficzną.

Tezą wynikającą z definicji pochodnej jest:

1) Iloraz różnicowy (czyli pochodna) jest równy tangensowi jaki tworzy
prosta k styczna do wykresu funkcji f z osią OX
2) jeśli prostak ma rownanie y=ax+b to wówczas a = tg kąta nachylenia tej
prostej do osi OX (jak wyżej)

Więc jeśli iloraz różnicowy jest większy od 1 i a1 (a nie ma powodu dla
którego nie moze tak byc) to jak istnieje wówczas tg naszego kąta, skoro
tangens zawiera sięw przedziale <0;1?

Nie wiem czego tutaj nie rozumiem i proszę o pomoc jeśil ktos się zna na
rzeczy.

pochodna- pomocy!!!!!


Cytat:1) Iloraz różnicowy (czyli pochodna) jest równy tangensowi jaki tworzy
prosta k styczna do wykresu funkcji f z osią OX



Iloraz różnicowy to nie jest pochodna! Jezeli mamy dwa punkty x1 i x2, to
pochodną funkcji f w punkcie x2 jest _granica_ ilorazu różnicowego f[x1,x2]
przy x1-x2:

        f'(x2)=lim_{x1-x2} (f(x2)-f(x1))/(x2-x1)

DS.

problem z punktami przegiecia

Witam wszystkich

Dana jest f(x)= ln(x^2  +  9)

Czy wykres tej f. ma punkty przegięcia
Liczylem tak:
pierwsza pochodna df(x)/dx =0    i wychodzi x=0
druga pochodna  d2f(x)/d2x=0    i wychodzi x= -3 lub x=3

No to niby nie ma takiego punktu zeby obie pochodne sie w nim zerowały

ale jak patrze na wykres tej funkcji .......
no i f. jest wklesla w przedziale (-nieskon.,-3)suma(3,nieskon.)
a wypukla w przedziale do (-3,3)

to dlaczego w -3 i 3 nie ma pnkt przegiecia skoro z jednej strony f. jest
wypukla a z drugiej wklesla.

Prosze o wyjasnienie gdzie popelniam blad

Styczna do dwoch parabol

Cytat:Witam!

Jest takie 'cos': napsiz rownanie prostej, ktora jest styczna do wykresu
funkcji f(x)=x^2+8x+4 i do wykresu funkcji g(x)=x^2+4x+8.

Zrobilem to dosc skomplikowanym sposobem (ale wyszlo, tyle tylko ze
intensywnie liczylem chyba z 15 minut) i potwierdzilo sie moje
przypuszczenie - styczna jest rownolegla do prostej przechodzacej przez
wierzcholki. Tak myslalem od poczatku, ale nie potrafilem tego uzasadnic i
nadal nie potrafie.

Bede wdzieczny za pomoc, sprawa jest pewnie dosc prosta, tylko ja nie moge
wpasc.



A wiec tak:

Oznaczmy sobie punkty stycznosci prostej z parabolami:

(m ; m^2+8m+4) i (n ; n^2+4n+8)

Wiadomo, ze pochodne w tych punktach musza byc rowne, czyli

f'(m) = 2m +8
g'(n) = 2n +4

2m+8 = 2n+4
czyli n= m +2

Teraz napiszmy wzory stycznej do tych paraboli ze wzory ogolnego czyli
y=ax+b, z tym, ze a - wspolczynnik kierunkowy bierzemy z pochodnej danej
funkcji.

1)  n^2 + 4n + 8 = (2n+4)*n +b
2)  m^2 + 8m + 4 = (2m+8)*m +b

po przeksztalceniu:
1)  b = 8 - (n^2)
2)  b = 4 - (m^2)

czyli:
n^2 - (m^2) = 4
i wiadomo, ze n = m+2

ostatecznie:
m=0
n=2
b=4

teraz podstawiajac do wzoru y=ax+b
y=8x+4

Pozdrawiam
GEK

Styczna do dwoch parabol

Cytat:

| Jest takie 'cos': napsiz rownanie prostej, ktora jest styczna do wykresu
| funkcji f(x)=x^2+8x+4 i do wykresu funkcji g(x)=x^2+4x+8.

| Zrobilem to dosc skomplikowanym sposobem (ale wyszlo, tyle tylko ze
| intensywnie liczylem chyba z 15 minut) i potwierdzilo sie moje
| przypuszczenie - styczna jest rownolegla do prostej przechodzacej przez
| wierzcholki. Tak myslalem od poczatku, ale nie potrafilem tego uzasadnic
i
| nadal nie potrafie.

| Bede wdzieczny za pomoc, sprawa jest pewnie dosc prosta, tylko ja nie
moge
| wpasc.

A wiec tak:

Oznaczmy sobie punkty stycznosci prostej z parabolami:

(m ; m^2+8m+4) i (n ; n^2+4n+8)

Wiadomo, ze pochodne w tych punktach musza byc rowne, czyli

f'(m) = 2m +8
g'(n) = 2n +4

2m+8 = 2n+4
czyli n= m +2

Teraz napiszmy wzory stycznej do tych paraboli ze wzory ogolnego czyli
y=ax+b, z tym, ze a - wspolczynnik kierunkowy bierzemy z pochodnej danej
funkcji.

1)  n^2 + 4n + 8 = (2n+4)*n +b
2)  m^2 + 8m + 4 = (2m+8)*m +b

po przeksztalceniu:
1)  b = 8 - (n^2)
2)  b = 4 - (m^2)

czyli:
n^2 - (m^2) = 4
i wiadomo, ze n = m+2

ostatecznie:
m=0
n=2
b=4

teraz podstawiajac do wzoru y=ax+b
y=8x+4



Robilem to bardzo podobnie. Tylko rownania rozwiazywalem jakos inaczej i
troche sie pokomplikowalo. Dzieki za szczegolowe wyjasnienia.

Pozdrawiam

Adam Michalski, 17 lat

szereg funkcyjny

Czy ciąg f_n(x)=sin(nx), n=1,2,... jest zbieżny jednostajnie do funkcji
f(x)=0 w przedziale [0,pi]?

Najpierw podeszłem do tego tak. Otóż w przedziale [0,pi] dla kolejnych n
wykres funkcji sin(nx) zagęszcza się, a więc wydaje mi się że ciąg f_n nie
jest zbiężny do f(x)=0.

A teraz próbuję udowodnić to "formalnie":
Korzystając z kryterium jednostajnej zbieżności mam, że ciąg f_n jest
jednostajnie zbiężny w [a,b] do funkcji f <=gdy sup(Abs(f_n(x)-f(x)))-0,
n-oo
Zatem w moim przypadku sup(Abs(f_n(x)-f(x)))=sup(Abs(sin(nx)))
Próbuję wyliczyć pochodną z Abs(sin(nx)) aby wyznaczyć sup:
diff(Abs sin(nx))= n*cos(nx)*signum(sin(nx))
Stąd diff(Abs sin(nx))=0 <=n*cos(nx)*signum(sin(nx))=0 <=n*cos(nx)=0 <=
cos(nx)=0 <=x=pi/(2n)
I niestety w tym miejscu leżę i nie mam pojęcia co dalej. I nie wiem czy nie
bzdurzę. Proszę o wskazówki
Dziękuję,
Krzysiek

szereg funkcyjny


Cytat:Czy ciąg f_n(x)=sin(nx), n=1,2,... jest zbieżny jednostajnie do
funkcji f(x)=0 w przedziale [0,pi]?



A tu nie jest sin(x/n)?
Dla n--oo bedzie to nieskonczenie wiele razy przyjmowało
wszystkie wartości z przedziału [-1,1], więc jak ma być zbieżne do 0?

Cytat:Najpierw podeszłem do tego tak. Otóż w przedziale [0,pi] dla
kolejnych n wykres funkcji sin(nx) zagęszcza się, a więc wydaje mi
się że ciąg f_n nie jest zbiężny do f(x)=0.



No.

Cytat:A teraz próbuję udowodnić to "formalnie":
Korzystając z kryterium jednostajnej zbieżności mam, że ciąg f_n jest
jednostajnie zbiężny w [a,b] do funkcji f <=gdy
sup(Abs(f_n(x)-f(x)))-0, n-oo
Zatem w moim przypadku sup(Abs(f_n(x)-f(x)))=sup(Abs(sin(nx)))



No a to nie dązy do 0 dla n--oo, bo nie ma granicy.
I bym osobiście zakończył na tym, za co pewnie dostałbym
tradycyjny punkt z dziesięciu.

Cytat:Próbuję wyliczyć pochodną z Abs(sin(nx)) aby wyznaczyć sup:
diff(Abs sin(nx))= n*cos(nx)*signum(sin(nx))
Stąd diff(Abs sin(nx))=0 <=n*cos(nx)*signum(sin(nx))=0 <=
n*cos(nx)=0 <=cos(nx)=0 <=x=pi/(2n)
I niestety w tym miejscu leżę i nie mam pojęcia co dalej. I nie wiem
czy nie bzdurzę. Proszę o wskazówki



No policzyłeś, dla których x może być ekstremum, ale nic z tego nie wynika.

Cytat:Dziękuję,
Krzysiek



--
ŁK

szereg funkcyjny

Cytat:Czy ciąg f_n(x)=sin(nx), n=1,2,... jest zbieżny jednostajnie do funkcji
f(x)=0 w przedziale [0,pi]?

Najpierw podeszłem do tego tak. Otóż w przedziale [0,pi] dla kolejnych n
wykres funkcji sin(nx) zagęszcza się, a więc wydaje mi się że ciąg f_n nie
jest zbiężny do f(x)=0.

A teraz próbuję udowodnić to "formalnie":



I mozna to zrobic bardzo latwo, albowiem jest takie cos, ze szereg moze byc
zbiezny jednostajnie, jezeli jest zbiezny punktowo. No to liczymy:

lim(x-oo) sin(nx) = nie ma!

No i juz.

Cytat:Korzystając z kryterium jednostajnej zbieżności mam, że ciąg f_n jest
jednostajnie zbiężny w [a,b] do funkcji f <=gdy



sup(Abs(f_n(x)-f(x)))-0,

Cytat:n-oo
Zatem w moim przypadku sup(Abs(f_n(x)-f(x)))=sup(Abs(sin(nx)))
Próbuję wyliczyć pochodną z Abs(sin(nx)) aby wyznaczyć sup:



Nie musisz liczyc zadnych pochodnych bo golym okiem widac, ze szukane
supremum wynosi 1.
W tym momencie tez bedzie juz koniec, bo widac ze nie zachodzi:
1-0

optymalizacja

Cytat:Witajcie mam takie zadanko:

Jaki jest punkt na wykresie y^2 = 4x lezacy najblizej prostej y = 2x + 4.

Moje rozwiazanie:
1. Najpierw zamienilem osie X i Y, stad
 Â  y = (x^2)/4 i y = (x-4)/2
Nie zmieni to naszej odleglosc.

2. Wyznaczam dwa punkty A(x,x^2/4) i B(x,(x-4)/2)
3. prowadze odcinek d z paraboli pod katem prostym do naszej prostej

Nio i mam wlasnie problem z wyliczeniem dlugosci d, gdyz znam tylko jedna
dlugosc - (x^2 - 2x + 8)/4 i jest to dlugosc przeciwprostokatnej trojkata
ktorego jedna z przyprostokatnych jest d.

Co dalej ?

pozdrawiam Greko.



A o takim czyms jak pochodna, maksimum i minimum funkcji slyszales ?? chyba da
sie w ten sposob to zrobic :)

Pozdrawiam

Zadanie (jeszcze 1)

Cytat:
Przepraszam, że się wcinam, ale ja rozważałem f(x) = (x-1)(x-3)(x-7)(x-9).
Stwierdziełem, że f(x) = -36, zatem
(x-1)(x-3)(x-7)(x-9) + 40 = 4.

Może rzeczywiście niepotrzebnie pominąłem to 40.
Jeśli jednak ktoś nie zna pochodnych, to całe moje rozwiązanie jest bez
sensu (ale nie przeczy rozwiązaniu podanemu przez Tomka "Majkel" Szebesta).

Mateusz



Dlaczego bez sensu???!!!!

To JEST rozwiazanie bez uzycia pochodnych.
Za dawnych, zlych, nieodwracalnie minionych czasow temat "Trojmian
kwadratowy" w programie szkoly sredniej zawieral o wiele wiecej, niz
falszywa informacje, ze metoda obliczania pierwiastkow nazywa sie
"przez delte". M. in. uczono, ze wykres funkcji y = x^2 + px + q
otrzymuje sie z wykresu funkcji y = x^2 przez przesuniecie o wektor
[-p/2, - Delta/4]. A znajdowania ekstremow funkcji y = x^2 uczono BEZ
POCHODNYCH. Obowiazkowa byla wiedza o tym, ze trojmian kwadratowy ax^2
+ bx + c ma eksteremum w punkcie x = -b/(2a), co jest srednia
arytmetyczna pierwiastkow, a o tym, czy jest to minimum, czy maksimum,
decyduje znak a - BEZ POCHODNYCH...

Z mojej "niesluszne i przestarzalej" perspektywy stosowanie pochodnych
do badania przebiegu zmiennosci trojmianu kwadratowego przypomina
rozpowszechniona teraz metode rozwiazywania rownania (x-1)(x-2)=0:
wymnozyc, a potem "przez delte"...

Z powazaniem
Marek Szyjewski

                 My, samotnicy, powinnismy trzymac sie razem!

Pochodne ekstrema i asymptoty

Witam, czy ktos moglby mi pomoc rozwiazac nastepujace zadania ?

ZADANIE 1

OBLICZ POCHODNE FUNKCJI I USTAL ICH DZIEDZINY:
A) y=(3x-1)do potegi 3
B) y=pod pierwiastkiem 4x-1
C) y=pod pierwistkiem 1+cosx

ZADANIE 2

WYZNACZ EXTREMUM FUNKCJI:
y=(xdo potegi 2 - 4x + 3) do potegi 4

ZADANIE 3

WYZNACZ ASYMPTOTY WYKRESU FUNKCJI:

           x do potegi 2 +1
y= ________________
                    x-4

Z gory ogromne dzieki .... !!!

Pochodne ekstrema i asymptoty

Czy w zadaniu 1.a należy najpierw podniesc do potegi nawias i dopier potem
liczyc pochodna czy pochodna z nawiasu ? Z tego co policzylem to
powychodzily mi nastepujace wyniki :

Zad 1.a wyszlo 18

Zad 1.b czy powinno wyjsc 1/(pwk(x-1/4)

Zad 1.c (-sinx)/2*pwk(1+cosx)

Jak na razie to tylko tyle ..

Cytat:Witam, czy ktos moglby mi pomoc rozwiazac nastepujace zadania ?

ZADANIE 1

OBLICZ POCHODNE FUNKCJI I USTAL ICH DZIEDZINY:
A) y=(3x-1)do potegi 3
B) y=pod pierwiastkiem 4x-1
C) y=pod pierwistkiem 1+cosx

ZADANIE 2

WYZNACZ EXTREMUM FUNKCJI:
y=(xdo potegi 2 - 4x + 3) do potegi 4

ZADANIE 3

WYZNACZ ASYMPTOTY WYKRESU FUNKCJI:

           x do potegi 2 +1
y= ________________
                    x-4

Z gory ogromne dzieki .... !!!



Zadanie z wilomianem i geo. anal. :)

Hej!

Mam prablem z takim ciekawym zadankiem, raczej banalny, ale glowie sie i mi
nie wychodzi:) Lece z pamieci z trescia:

Oblicz pole trojkata ograniczonego osiami wykresu oraz styczna do funkcji
W(x) = x^3 -3x^2 + 9x + 1 w punkcie o odcietej x = -1 ( wielomian wymyslilem
sam, bo tamtego nie pamietam, zreszta nie o to mi tutaj chodzi:).

No wiec lecimy:
1) rysuje wykres
2) chce skorzystac ze wzoru na styczna do wykresu w punkcie: y - y0 = f '(x)
( x - x0 )

Fajnie, mam dany ten punkt ( x0 = -1, y0 sobie wylicze podstawiajac do
wielomianu x = -1 ), licze pochodna W '(x) rowna w tym przypadku W '(x) =
3x^2 - 6x + 9.

Wstawiam to wyszstko do wzoru i co mi wychodzi? Wielomian:( Moze mi sie tak
tylko wydaje, ale styczna powinna chyba byc funkcja liniowa y = ax +b ?
Gdzie sie rąbłem?:)

Pozdrawiam

2 inne zadanka

dzieki bardzo,
a co do PS,
to niestety nie dziala,
to notebook z typowo niemiecka klawiatura i po przetawieniu na polski
wszystko sie krzaczy, jestem na te klawiature tak wsciekly, ze nienawidze
jakichkolwiek uwag pod jej adresem, dlatego tak zywiolowo zareagowalem na
twoj pierwszy list, wybacz...
Cytat:

wspolczynnik
| kierunkowy stycznej musi byc rowny 0, tak? ale jak to zrobic, nie znamy
| przeciez punktu stycznosci

Sformulowales dopiero jeden warunek: styczna musi byc "pozioma",
tzn. rownolegla do osi OX. Brakuje drugiego: ma to byc wlasnie
ta os, a nie dowolna prosta rownolegla do niej.

Musisz wiec stwierdzic, czy istnieje taki iks (albo takie iksy),
w ktorych rownoczesnie styczna do wykresu jest rownolegla do osi OX
i wykres prechodzi przez punkt osi OX.

Algebraicznie oznacza to, ze pochodna funkcji f (czyli wlasnie
wspolczynnik
kierunkowy stycznej) zeruje sie i rownoczesnie wartosc funkcji jest
zerowa.
Z tych dwu warunkow dostajesz dwa rownania:

    f'(x) = 0
    f(x) = 0

Z otrzymanego ukladu powinno dac sie okreslic, dla jakich 'k' ma on
rzeczywiste rozwiazanie (lub rozwiazania).

I juz.

Maciek

PS.
Jesli masz uszkodzona klawiature, albo trudna w obsludze konfiguracje,
to mozesz uzyskac znak ^ przyciskajac lewy klawisz Alt i wpisujac
z klawiatury cyfrowej 094.



Powierzchnia okna :)

Cytat:

| metoda w 3 krokach:
| 1.wyznacz szukana podstawe z obwodu
| 2.wstaw to, co wyznaczyles do wzoru na pole
| 3.wylicz miejsce zerowe pochodnej zaleznosci, ktora otrzymales w punkcie 2.
| Szukana dlugosc to wlasnie wyliczone miejsce zerowe.

Sadzac po poziomie trudnosci zadania pochodna to bedzie wojna czolgiem z
mucha... moze wystarczy ograniczyc od gory pole nierownoscia? Np miedzy
srednimi...



MSZ lepiej pokazac, ze przy dowolnie ustalonym obwodzie calosci
powierzchnia wyraza sie dwumianem 2 stopnia szukanej wielkosci
(dlugosci podstawy).
A wierzcholek paraboli bedacej wykresem funkcji kwadratowej
mozna znalezc i bez pochodnych.

Maciek

Powierzchnia okna :)

Cytat:MSZ lepiej pokazac, ze przy dowolnie ustalonym obwodzie calosci
powierzchnia wyraza sie dwumianem 2 stopnia szukanej wielkosci
(dlugosci podstawy).
A wierzcholek paraboli bedacej wykresem funkcji kwadratowej
mozna znalezc i bez pochodnych.



  no fakt... co to jest MSZ?

Wykres wielomianu -> dowod

| Udowodnij, ze wykres dowolnego wielomianu stopnia 3-go ma srodek symetrii.
|
| Ktos ma pomysl na ten dowod ? :)

Czasu rze bić nie mam - sesja, ale pomysł się znajdzie ;).
Zapisz wielomian W(x)= a(x-p)(x-q)(x-r), albo spróbuj może
W(x)=Ax3+Bx2+Cx+D, teraz policz dla niego pochodną. Rozbij na przypadki.
Pochodna będzie funkcją kwadratową oczywi cie ;).
1) Jeżeli będzie miała dwa pierwiastki policz warto ci f-cji w tych
punktach, a następnie zrób przesunięcie wielomianu o wektor: różnica między
pierwiastkami na dwa i różnica między warto ciami w pierwiastkach na dwa.
Chodzi mi o to aby przesunąć to tak aby otrzymać funkcję nieparzystą. -
w'(x)=-w(-x). A ta funkja ma  rodek symetrii.
2)jak ma jeden pierwiastek robisz podobnie, to jest poprostu ax^3
przesunięte o jaki  wektor.
3) jeżeli nie ma pierwiastków.. pomy l już sam ;) Na przykład o jakim
punkcie przegięcia. Ja wracam do probablistyki ;)

Pozdrawiam

Kasia

wartosc maksymalna funkcji

Cytat:Z tego co mi wiadomo, funkcja przyjmuje wartosc maksymalna w miejscu gdzie
pochodna jest rowna 0. Jak obliczyc wartosc maksymalna funkcji z



wartosciami

Dokładniej, gdy pochodna zmienia znak z dodatnie go na ujemny
Są przecież funkcje, które ekstremum (ostre) osiągają w punkcie,
jest określona różnymi wzorami z lewej o prawej strony tego punktu.
Chyba tym razem się nie mylę, bo niedawno jakoś miałem przykład takiej
funkcji.

Cytat:Pytam, bo robilem zadanko i mam zly wynik

funkcja jest y = x^2 + |x| + 1

a rownanie stycznej wyszlo mi y = 2 - x



dla x=0 f(x)=x^2+x+1
dla x<0 f(x)=x^2-x+1

Pochodna w 0 nie istnieje
i można poprowadzić nieskończenie wiele
stycznych do wykresu w tym punkcie.

dla x0 f'(x)=2x+1
dla x<0 f'(x)=2x-1

Tu przykład funkcji, o której wspomniałem powyżej,
z lewej strony zera masz wartość ujemną pochodnej,
z prawej dodatnią, w zerze ona nie istnieje, ale niejako
zmienia znak w x=0 i ma ekstremum (minimum) ostre
w tym punkcie.

Cytat:Moj drugi problem to wartosc maksymalna funkcji (takze z wartosciami
bezwzglednymi) w rodzaju y = |3 + x| - |2- x| w jakims przedziale np.
<-3;5. Jak sie za to zabrac?



Fukcja w przedziale domkniętym zawsze osiąga wartość
najmniejszą i największą. Twierdzenie (?)...
Rozbić na 3 przedziały i odczytać np. z wykresu.

pierwsza i druga pochodna.

Cytat:
Witam

"Wykonaj wykres funkcji f(x) = x^3 - 2x, jej pierwszej i drugiej
pochodnej."

Co to znaczy "wykres pierwszej i drugiej pochodnej"?



1. Obliczasz pochodną funkcji f(x) = x^3 - 2x
2. wynik : f'(x)=......(policz)
3. Robisz wykres pierwszej pochodnej. - czyli wykres powstałej funkcji.
4. Obliczasz drugą pochodną, czyli f''(x)=....(policz)
5. Robisz wykres drugiej pochodnej.

pierwsza i druga pochodna.

Witaj

Cytat:"Wykonaj wykres funkcji f(x) = x^3 - 2x, jej pierwszej i drugiej
pochodnej."

Co to znaczy "wykres pierwszej i drugiej pochodnej"?



pochodna funkcji f(x) jest oczywiscie funkcja, ktora kazdemu x
przyporzadkowuje pochodna funkcji f(x) w tym punkcie.
Dla przykladu
jesli
f(x)=x^2 wtedy
f'(x)=2x  (pierwsza pochodna)
f''(x)=2  (druga pochodna - pochodna z pierwszej pochodnej)

i teraz nalezy narysowac wykresy tych funkcji tak samo jak narysowac wykres
smaej f(x).

"Maxima debetur puero reverencia"

Badanie przebiegu zmienności (przykład)

W jaki sposób wyglada wykres funkcji f(x)= x + sin(x)/x ?

Wiem, że wykres posiada asymptote ukośną y=x, punkt 0 jest wyłączony z
dziedziny. Funkcja zmierza do 1 z lewej i prawej strony zera, w
nieszkończoności + i - funkcja zmierza odpowiednio do + i - nieskończoności.
Pierwsza pochodna  to (x^2 + x*cos(x) - sin(x))/x^2 Na tym etapie moja
wiedza matematyczna potrzebna do rozwiązania tego zadania się skończyła.
Używałem programu Derive, ale nie jest  w stanie narysować mi tej funkcj. Z
góry dziękuje za pomoc.

Badanie przebiegu zmienności (przykład)

Cytat:W jaki sposób wyglada wykres funkcji f(x)= x + sin(x)/x ?

Wiem, że wykres posiada asymptote ukośną y=x, punkt 0 jest wyłączony z
dziedziny. Funkcja zmierza do 1 z lewej i prawej strony zera, w
nieszkończoności + i - funkcja zmierza odpowiednio do + i - nieskończoności.
Pierwsza pochodna  to (x^2 + x*cos(x) - sin(x))/x^2 Na tym etapie moja
wiedza matematyczna potrzebna do rozwiązania tego zadania się skończyła.
Używałem programu Derive, ale nie jest  w stanie narysować mi tej funkcj. Z
góry dziękuje za pomoc.



U mnie derive rysuje: Ctrl + B i wpisz:

SIN(x)/x + x

Wykres wyglada prawie jak y = x, tyle troszke pofalowane przez sinusa
w okolicach x=0.

Pozdrawiam

po prosbie

Cytat:
Mam infantylne, pytanie: czy mozna wyliczyc pochodna z wartosci jednej
zmiennej? Zmyla mnie wciaz wzror z tymi f(x) i f(x0), ktore jak mi sie zdaje
maja oznaczac wartosci y - drugiej zmiennej. Pomozcie!
Kasia



z samej wartosci to byloby ciezko - to znaczy by sie nie dalo, chyba
ze znasz jeszcze wartosci sasiednie... nie wiem do konca o co ci chodzi z tymi f(x) i y... to
jest to samo ale f(x) jest wygodniejsze... y raczej sie do wykresow
uzywa ale to raczej z wygody... poza tym jak masz dwie funkcje to jak
rozroznisz jedna od drugiiej? ...wtedy sie stosuje f(x) g(X) itd ale
to chyba nei o to ci chodzilo...
Lacek

Odczytywanie granic funkcji z wykresu.

Mam do Państwa następujące pytania, prosiłbym o odpowiedz na nie w jak
najkrótszym terminie, ponieważ sobotę mam egzamin.

1.Jak obliczyć granice funkcji mając tylko jej wykres (bez żadnych
obliczeń).

Mam na przykład podać granicę w +/- nieskończoności. Wiem jak to obliczyć,
ale nie wiem jak odczytać coś takiego z wykresu.

2.Jak narysować np. wykres funkcji, której pochodna jest rosnąca w
przedziałach (-2,2)

Wiem, że zapewne moje pytania są banalne, ale proszę bardzo odpowiedz. To
dla mnie bardzo ważne.

Z góry dziękuje za odpowiedź i pozdrawiam

CEWM 28@2000

f(x)=x^5 + ax^4 + bx^3 + cx^2 - x + d
a) jest rosnaca
b) przyjmuje wartosci -2001
c) ma conajmniej trzy miejsca zerowe

policzmy sobie pochodna
f'(x)= 5x^4 + 4ax^3 +3bx^2 + 2cx - 1
od razu widac, ze jakie by nie byly parametry a, b i c to i tak jak
podstawimy 0 to bedziemy mieli dwa pierwiastki [pochodnej nie funkcji]
oznacza to ze f'(x) nie zawsze jest wieksze od 0, czyli funkcja nie
jest zawsze rosnaca, czyli ostatecznie nie jest rosnaca, bo jest
rosnaca przedzialami -odpowiedz a) NiE

co dalej... wiemy ze zbiorem wartosci wielomianu stopnia nieparzystego
jest R, wiec moze on przyjac wartosc -2001 -odpowiedz b) NiE

czy ma conajmniej trzy miejsca zerowe....
wiemy ze pochodna w 2 punktach "zmienia znak" oznacza to ze funkcja
dana ma dwa ekstrema. Jak spojrzymy na ta funkcje to widzimy ze na
koncu ma ona parametr d, ktory odpowiedzialny jest za przesuniecie
wykresu w pionie. Wnioskujemy z tego ze jestesmy w stanie tak dobrac
jego wartosc [przesunac wykres], zeby funkcja miala 3 miejsca zerowe.
-odpowiedz c) TAK

CEWM 28@2000

Cytat:f(x)=x^5 + ax^4 + bx^3 + cx^2 - x + d
a) jest rosnaca
b) przyjmuje wartosci -2001
c) ma conajmniej trzy miejsca zerowe



[ciach]

Cytat:co dalej... wiemy ze zbiorem wartosci wielomianu stopnia nieparzystego
jest R, wiec moze on przyjac wartosc -2001 -odpowiedz b) NiE



Rozumiem, ze tam bylo "nie przyjmuje wartosci 2001".

Cytat:czy ma conajmniej trzy miejsca zerowe....
wiemy ze pochodna w 2 punktach "zmienia znak" oznacza to ze funkcja
dana ma dwa ekstrema. Jak spojrzymy na ta funkcje to widzimy ze na
koncu ma ona parametr d, ktory odpowiedzialny jest za przesuniecie
wykresu w pionie. Wnioskujemy z tego ze jestesmy w stanie tak dobrac
jego wartosc [przesunac wykres], zeby funkcja miala 3 miejsca zerowe.
-odpowiedz c) TAK



A tu sie nie zgodze. Nie chodzi o to, jak mozemy dobrac parametry, ale jakie
wlasnosci zachodza dla kazdego(!) ich wyboru. Twoje rozumowanie wykazuje, ze
mozna równiez tak przesunac wykres, zeby funkcja nie miala trzech miejsc
zerowych. Zatem odpowiedz c) powinna brzmiec NIE.

CEWM 28@2000

[ciach]
Cytat:Rozumiem, ze tam bylo "nie przyjmuje wartosci 2001".



Tak, moj blad - w przepisywaniu.

Cytat:| czy ma conajmniej trzy miejsca zerowe....
| wiemy ze pochodna w 2 punktach "zmienia znak" oznacza to ze funkcja
| dana ma dwa ekstrema. Jak spojrzymy na ta funkcje to widzimy ze na
| koncu ma ona parametr d, ktory odpowiedzialny jest za przesuniecie
| wykresu w pionie. Wnioskujemy z tego ze jestesmy w stanie tak dobrac
| jego wartosc [przesunac wykres], zeby funkcja miala 3 miejsca zerowe.
| -odpowiedz c) TAK

A tu sie nie zgodze. Nie chodzi o to, jak mozemy dobrac parametry, ale jakie
wlasnosci zachodza dla kazdego(!) ich wyboru. Twoje rozumowanie wykazuje, ze
mozna równiez tak przesunac wykres, zeby funkcja nie miala trzech miejsc
zerowych. Zatem odpowiedz c) powinna brzmiec NIE.



Chodzilo mi o to, ze wiemy, iz ta fukcja posiada dwa extema, czyli dla
jakiejs tam funkcji g(x)=m mamy dla pewniej wartosci 'm' 3 miejsca
zerowe, czyli potrafimy tak ten wykres przesunac, zeby mial dla m=0 3
miejsca zerowe. Chyba, ze nie rozumiem o co chodzi w zadaniu.

A polecenie brzmi tak:
Istnieja takie liczby rzeczywiste a,b,c,d, ze funkcja f dana dla
wszystkich liczb rzeczywistych wzorem [tutaj wzor]...

wiec chyba chodzi o to, ze mozna dobrac takie wartosci parametrow, aby
te 3 pierwiastki istnialy, right ?

pytanka

Dlaczego lim (x+y+1)/(x+y-1) nie istnieje gdy x dąży do 0 i y dąży do 0?

Jak to jest możliwe że zbiór {(x,y); x=0 oraz y=0} jest domknięty?

Czy wykres każdej funkcji wymiernej posiada przynajmniej jedną asymptotę?

Czy zawsze jeżeli granice dóch funkcji istnieją, to istnieje granica ich
różnicy?

Całka niezonaczona moze być funkcją stałą?

Styczna do wykresy w punkcie przegięcia przecina ten wykres tylko raz?

Jeżeli granice dwóch funkcji nie istnieją, to nie istnieje granica ich iloczynu?

Jeżeli pochodna funkcji malejącej w R zawsze istnieje, to zawsze jest ujemna?

Prosiłbym abyście pomogli mi odpowiedzieć na te pytania i oczywiście abym mógł
dowiedzieć się dlaczego tak jest. Za pomoc WIELKIE DZIĘKI.

Pochodna??


Cytat:Mam pytanie
Czy jezeli Granica ilorazu ruznicoweo jest rowna nieskonczonosci to mozna
powiedziec ze pochodna w tym punkcie nie istnieje??



hmmmm a zapomnialo sie juz o tw. ze jezeli nie istnieje granica wlasciwa
ilorazu roznicowego funkcji przy h-0 ___lub gdy jest ona niewlasciwa____ to
mowimy ze funkcja nie jest rozniczkowalna w tym punkcie? poza tym patrz
nizej.

Cytat:Bo mam pomysl na to ze to istnieje a nie jestem doswiadczonym matematykiem



Hmmm bardzo mnie ciekawi jaki. przeciez pochodna to tangens kata miedzy
styczna do wykresu funkcji a osia OX. Tangens jakiego kata wynosi inf? Czy
styczna do jakiejs krzywej moze padac pod takim katem na os OX jesli ta
krzywa to FUNKCJA? Kapujesz?

Cytat:moze ci ktorzy studjuja to wiedze ze sie dopuszcza prosta rozszzona



??

pozdro
delfik

Kilka zad. testowych

Cytat:
| liczb rzeczyw. wzorem:
| f(x)=x^5 + ax^4 + bx^3 + cx^2 - x + d
| a) jest rosnaca    (N)
| b) nie przyjmuje wartosci -2001    (N)
| c) ma co najmniej 3 m. zerowe    (T)

| Punkt b jest oczywisty - wielomian jest nieparzystego st.
| Ale a) i c)?

| a) jest proste - pochodna w 0 jest -1.
| c) jest nieprawdziwe. Napisz rownanie na miejsca zerowe
| w formie  x^5 + ax^4 + bx^3 + cx^2 - x  = -d. Pomysl, jak wygladaja
| wykresy lewej i prawej strony. Od razu widac, ze jesli modul d
| jest dostatecznie duzy, jest tylko jedno rozwiazanie.

Ale tam było "istnieją".



Przepraszam, jakos umknelo mojej uwadze.
No, to robimy jak wyzej i korzystamy z udowodnionego
juz faktu, ze funkcja nie jest rosnaca, Malejaca tez nie
jest, bo stopien jest 5 i wspolczynnik przy x^5 jest dodatni.
A wiec istnieje d takie, ze sa co najmniej 3 rozwiazania.

Cytat:| 3) Ciag (a_n), n=1,2,3,... ma wyrazy nieujemne i jest ograniczony, a ciag
| (b_n), n=1,2,3,... jest malejacy i dazy do zera. Wynika z tego, ze:
| a) Ciag ( (a_n)^(b_n) ) dazy do 1    (N)
| Zaskakuje mnie a), bo intuicyjnie wydawalomnie sie ze bedzie dazyl do
1...

| a_n=0, b_n=1.

Obawiam się, że nie spełnia warunków zadania.



Oczywiscie mialo byc b_n=1/n, bo ma dazyc do 0.

Pozdrowienia,
    Michal

Uklad rownan

Cytat:
Moze ktos pomoze, jak rozwiazac nastepujacy uklad rownan:

y=((1+sinx)/(1-sinx))^(1/2) czyli pierwiastek z ilorazu sumy 1+sinx oraz
roznicy 1-sinx

oraz

y=(x+(x+(x+(x)^(1/2))^(1/2))^(1/2))^(1/2) czyli pierwiastek z sumy x+
pierwiastek z sumy x+ pierwiastek z sumy x+ pierwistek z x

mam nadzieje ze ktos to zrozumie, sa tam cztery pierwiastki, graficznie to
wyglada to tak (pierwiastek neich bedzie V) y=Vx+Vx+Vx+Vx gdzie ogonki
pierwiastkow siegaja do samego konca, sa cztery nad soba :)

podobno da sie to zrobic korzystajac w jakis sposob z pochodnej, ale co i jak
to nie mam pojecia.

pozdrawiam
Sebastian Kujath



Moze chodzi o to zeby narysowac obie funkcje i sprawdzic gdzie i sie
przecinaja? Wtady faktycznie do jakiegokolwiek narysowania ich bedzie
trzeba policzyc pochodne, ogolnie zbadac ich przebieg zmiennosci. Tyle,
ze nie ma szans zebys dostal dokladne wyniki, chyba ze jest to jakos
specjalnie podane zadanie, i patrzac na wykresy da sie ustalic jakie
(x,y) beda je spelniac. Oczywiscie w wykresu nie mozesz odczytac wyniku,
jezeli bedzie widac jakies rozwiazanie, to MUSISZ je sprawdzic.

Pozdrawiam
Kuba

wspolna styczna

Cytat:Jak to "sa styczne"? A jakie sa ich pochodne f'(1) i g'(1)?



Oczywiscie, masz racje. Jakies zaciemnienie, to f(1)=g(1). W punkcie x=1
parabole sie przecinaja. A styczna do wykresow obu funkcji rzeczywiscie
istnieje. Zwiodlo mnie przekonanie, ze jedna parabola lezy wewnatrz drugiej.
. "Przekonania sa najwiekszym wrogiem prawdy". Kto to powiedzial ?

Pozdrawiam,

Marek Powichrowski

minimum lokalne

Cytat:----- Original Message -----

Sent: Saturday, March 22, 2003 6:21 PM
Subject: minimum lokalne

dana jest funkcja f(x) = |x^2+x-2|-2. DLa x= -2 funkcja osiaga najmniejsza
wartosc, ale czy poprawne jest stwierdzenie ze sla x = -2 osiaga "minimum
lokalne" ? no w zasadzie skoro jest to miminum calej funkcji, co jest to tez
minimum lokalne, ale nie wiem czy dla tego okreslenia nie jest potrzebny
jakis dodatkowy warunek (cos z pochodna chyba, ale nie jestem pewien)?



Osiąga minimum lokalne. Definicja minimum lokalnego nie mówi nic o pochodnych (odwołuje się do otoczenia punktu i takie tam). Warunkiem koniecznym istnienie ekstremum jest zerowanie sie pierwszej pochodnej, ale uwaga - pod warunkiem ze ta pochodna istnieje. Jesli pochodna nie istnieje - a ta funkcja nie jest różniczkowalna dla x = -2, to wówczas może być ekstremum lokalne, a może go nie być - tutaj ewidentnie jest, co widac na wykresie. Zreszta identycznie bedzie dla x = 1, zaś dla x = -0,5 bedzie maximum lokalne /juz normalnie wyliczone z pochodnej, badz wzoru (p,q) /.
SDD
www.wszechwiedza.prv.pl

ekstrema


Cytat:Jeśli na dowolnej funkcji, to nic poza wyznaczeniem min i max z listy
pierwiastków pochodnej tej funkcji nie widzę na horyzoncie.
Tu oczywiście trzba mieć na uwadze, ze nie każdy pierwiastek pochodnej
wskazuje ekstremum. No i czy chodzi o funkcje tylko jednej zmiennej?



Chodzi o ekstrema dowolnej funkcji jednej zmiennej.
Program realizuje metode tzw. biernego poszukiwania w polaczeniu z
obliczaniem pochodnej. Przechodze dwoma wskaznikami rozniacymi sie o jakis
krok od lewej strony przedizalu do prawej i jezeli iloczyn pochodnych w
tych dwoch punktach jest ujemny wykorzystuje metode bisekcji do
znalezienia miejsca zerowego pochodnej. W ten sposob znajde wszystkie
ekstrema, ale boje sie o ten pierwszy wyjsciowy przedzial. Jak go okreslic
nie znajac wykresu, aby nie zgubic zadnego ekstremum?

pozdrawiam

Wyznaczanie wartości minimalnych i maksymalnych.


Cytat:Są dwa czujniki. Jednym z nich jest czujnik przemieszczenia, który
porusza się ze stałą (regulowaną) częstotliwością. Niestety nie wiem
z jaką - jest to jedna z rzeczy, które muszę obliczać. Głównie do tego
obliczenia (lecz nie tylko) potrzebuję owe minima i maksima. To właśnie
ten czujnik generuje sinusoidę. Drugim z czujników jest czujnik siły.
Wynikiem pomiarów jest wykres siły w funkcji przesunięcia. Wszystko
było ok, dopóki nie trzeba było przeprowadzać obliczeń w czasie
rzeczywistym (podczas przeprowadzania pomiarów).



Generalnie, do wyznaczenia częstotliwości nie potrzeba min/max.
Wystarczy przejście przez 'zero'.

Maksimum/minimum lokalne<, można za to wyznaczyć licząc pochodną.
Istnieją na to przybliżone algorytmy numeryczne, operujące na
próbkowanych danych. Nie pamiętam teraz dokładnie. Generalnie, im
większy odcinek czasu bierze pod uwagę przy liczeniu pochodnej, tym
mniej podatny jest na szpilki i odchyły.

Ale ja bym chyba inaczej zrobił.

Do znalezienia częstotliwości, potrzebujesz tylko przejść przez 'zero'.
Gdybyś znalazł maksymalną/minimalną wartość pomiędzy dwoma przejściami,
możesz sobie odtworzyć sinusoidę z dowolną dokładnością. To, że dane idą
paczkami, to ułatwia trochę sprawę, bo masz na to czas (przy dzisiejszym
sprzęcie) i możesz zrobić nawet kilka różnych kalkulacji na danym
przebiegu a użytkownik się nie zorientuje.

Pzdr, Lukasz

Ciê¿ar roœnie w g³êbi Ziemi ?

Cytat:Hm, ktorys z nas sie pomylil - mi wyszlo
dokladnie w 5/6 (czyli ~0.833) promienia.



Nie zadałem sobie trudu policzenia pochodnej,
odczytałem "na oko" z wykresu.
Funkcja: ~ do r * (3*r -5)

Faktycznie max jest w 5/6.

Antek

Ciê¿ar roœnie w g³êbi Ziemi ?

| Hm, ktorys z nas sie pomylil - mi wyszlo
| dokladnie w 5/6 (czyli ~0.833) promienia.

 Nie zadałem sobie trudu policzenia pochodnej,
albo podzielenia 5/3 przez 2.
odczytałem "na oko" z wykresu.
Funkcja: ~ do r * (3*r -5)

 Faktycznie max jest w 5/6.

 Antek

całka

Co oczywiście przekłada się na konkretne wielkości fizyczne. Ot, dla mnie
kolejne narzędzie...

Cytat:czy pole pod wykresem jest zbyt banalne?

dyskusyjnych

| czy kos potrafi wyjasnic idee całki nieoznaczonej (tak jak idea
pochodnej
| jest to zmiana funkcji w czasie, bardzo malym)?



całka


Cytat:czy pole pod wykresem jest zbyt banalne?



chce stanowczo zaprotestowac calka nieoznaczona nie ma swojej interpretacji
geometrycznej(przynajmniej ja jej nie znam ),
to o czym piszesz to interpretacja geometryczna calki oznaczonej
przeciez definicja calki oznaczonej (w sensie rieman'a) jest zupelnie inna
od definicji calki oznaczej, tak sie szczesliewie sklada ze te dwa twory
matematyczne sa ze soba zwiazane za pomoca wzoru newtona i tyle i pewnie
dlatego suma riemana (nieprecyzyjnie mowiac zostala nazwana calka oznaczona)
i tyle
Cytat:
dyskusyjnych

| czy kos potrafi wyjasnic idee całki nieoznaczonej (tak jak idea
pochodnej
| jest to zmiana funkcji w czasie, bardzo malym)?



co do idei calki nieoznaczonej to najprosciej -odwrotnosc rozniczkownia ale
to jest bardzo intuicyjne i nie do konca precyzyjne

Maksymalna temperatura?

                                  AvE!
                Prickle-Prickle, Confusion 33, 3167 YOLD

Cytat:| To kiedy temperatura osiąga zero stopni?

|  Â  Nigdy (3-cia zasada termodynamiki, o ile dobrze pamietam)

 Może wyraziłem się mało precyzyjnie kiedy dąży do zera?



Gdy tangens kąta nachylenia stycznej do wykresu ln omega(E) dąży do
nieskończoności?

Przyjmijmy bardzo prosty model: niech liczba stanów dozwolonych w
funkcji energii będzie jej kwadratem: omega(E)=E^2. Wtedy:

eta = partial ln omega(E) / partial E = 2/E

więc:

lim (E-0) eta = inf

zatem:

lim (E-0) [T=1/(keta)] = 0

Wynikałoby więc, że temperatura dąży do zera dla energii dążącej do
zera;)

Inaczej:
S=k ln omega(E)
eta=partial ln omega(E) /partial E = k^(-1) partial S/partial E

T=1/[keta)]=(dS/dE)^(-1)

Czyli T-0 gdy pochodna entropii po energii dąży do nieskończoności.

Lub inaczej: gdy energia potencjałów cząstki jest równa energii
fermiego, to stąd można wywnioskować, iż temperatura wynosi 0.

PS. [wszystko powyżej jest źle;]

Typy do SuperByczka i SuperNiedźwiedzia

...

Cytat:przeceniasz mnie - nie potrafie na podstawie otwarcia kontraktow
przewidziec
kursow otwarcia poszczegolnych spolek, a tym bardziej jak zachowaja sie w



to trudne zadanie ...
FW20 jest instrumentem pochodnym do W20, a W20 jest funkcja liniowa 20
zmiennych
aby obliczyc otwarcie W20 na podstawie otwarcia kontraktow, nalezy policzyc
CALKE z FW20 ;-))))))))
gorzej z obliczeniem otwarcia spolek na podstawie otwarcia W20 ...
ciekawostka : interpretacja geometryczna calki oznaczonej z FW20 jest
powierzchnia ograniczona wykresami W20 i FW20 ;-)))))))

Pozdrawiam,
Julio

Interpolacja, aproksymacja

Cytat:
nie powiedzialbym zeby rozwiazanie DUZEGO ukladu rownan liniowych z N
niewiadomymi bylo sprawa banalna. chodzi o nawarstwiajace sie bledy
zaokraglen. ale gotowce oczywiscie sa :)



Tak, ale N to jest rzad funkcji aproksymujacej, a nie ilosc probek, wiec z
zasady nie powinien byc za duzy.
Jak juz z tych 50000 punktow ulozysz rownanie 3-4 rzedu, to dalej idze jak
po masle.
Poza tym uzywam slowa "banalny" w sensie Szalonego Henia z PG, tzn."dalej o
tym mowic nie bede" :)

Cytat:| wyniki. Przez N punktow mozna przeprowadzic wielomian rzedu N+1. Chyba
| lepiej stosowac wielomiany sklejane - od punktu do punktu inne
| wspolczynniki.
czyli krzywymi bezeera :)



Jak zwal, tak zwal, krzywe Beziera 2D zawsze kojarza mi sie z trajektoria ,
funkcja R-R na wykresie to taka trajektoria "co se ne wrati". Wielomian
sklejany jest po prostu funkcją, która odcinkami opisywana jest wielomianem.
Moze nie  miec ciaglej pochodnej.

Do Fazika:
Rzuc do dowolnej wyszukiwarki hasla: spline, approximation, polynomial.
Znajdziesz wzory, definicje, przyklady, teorie i procedury.

Ryszard Cichy
------------------------------------------------------
"Zrozumiec rekurencje moze tylko ten kto rozumie rekurencje"
------------------------------------------------------

Wykresy i wygładzanie linii

Cytat:Próbowałem z interpolacją Newtona (różnice progresywne), ale - co było
do przewidzenia, nie wypaliło. Czy ktoś zna, lub wie gdzie można
znaleźć takie algorytmy? Mogą być gotowe listingi
(funkcji/procedury...) z programów które realizują taką funckję (przy
czym rozumieć mogę tylko Pascala lub C/C++...:), chcoć chciałbym też
zobaczyć opis takiej metody.



Wydaje mi się, że w takim wypadku, jeśłli interpolacja, to interpolacja funkcjami
składanymi (przy małej liczbie wyników) z dokładnością do pierwszej pochodnej.
Ale tu rzeczywiście nie o interpolację chodzi, ale raczej właśnie o uśrednianie
wyników
z pewnego otoczenia. Np. bierzesz średnią z 5 wyników wstecz i 5  wyników w przód.
Coby jednak gwałtowna zmiana wyniku nie powodowała gwałtownego skoku średniej
robisz średnią ważoną, w której waga jest tym większa, im wynik bliższy pozycji
centralnej.
Suma wag zaś wynosi 1.0. Ale to wszystko zależy od gęstości wyników na wykresie.
Jeśli wyniki są rzadkie, tzn. między nimi są duże obszary wolne, to można się kusić o
interpolację (która ma tę cechę, że przechodzi przez każdy punkt). Jeśli punkty są
gęste
a wartości rozrzucone to trzeba stosować krzywe regresji albo np. liczyć średnią po
przedziałach
a dopiero potem średnią ważoną. W tym ostatnim wypadku jeśli punkty są bardzo gęste
to
starczy samo liczenie średniej w przedziałach, już bez ważenia. Problemy są
oczywiście, gdy
w jakimś przedziale w ogóle nie ma punktów lub bawisz się z krzywymi dwuwymiarowymi,
a nie
funkcjami. Ale to już do własnych rozważań.
Oczywiście na pewno są gotowe wzorki, ale samemu ciekawiej, nie ? ;)

Zaznaczam, że sobie na wpół z palca wysysam. Ja bym w każdym bądź razie tak zrobił:

wartość wielomianu

Michał Gołębiowski:
Cytat:
| jak wyznaczyć najmniejszą wartość funkcji wielomianowej:

| W(x)=(x-1)*(x-2)*(x-3)*(x-4)+10

| pozdrawiam, Darek

Narysuj sobie wykres tego wielomianu (taki przybliżony wężyk - aby tylko
zachować monotoniczność) i zobaczysz, że minimum jest w jednym z tych
czterech przedziałów: (1,2); (2,3); (3,4) - a więc tam styczna tworzy kąt 0
z osią OX - wystarczy wykorzystać pochodne...

Pozdrawiam,

Michał



To jest przyklad na to co Ci pisalem.
Poleganie na wiedzy w matematyce rozmiekcza mozg.
Wiedza jest oczywiscie niezwykle pozyteczna(!!!),
potrafi podniesc zdolnosc rozwiazywania problemow
przez matematyka do dziesiatej potegi. Ale kiedy
zamiast samemu pomyslec, liczy sie na wiedze, to
wyniki sa zalosne. Nawet najlepsze buty same
nie chodza. A na lekka podroz nie ma co
zakladac skadinad pozytecznych, ale ciezkich
buciorow, bo gdy miesnie zanikna, to nawet sie
tych buciorow nie podzwignie.

To juz ostatnio drugi przyklad, kiedy wskazowka
oddala od rozwiazania. W danym wypadku nie bylo
tak zle. Ale w watku o srodkowych, Rafal faktycznie
swoja wskazowka tylko utrudnil zamiast pomoc.
(Nie wolno blefowac. Gdy sie nie widzi rozwiazania

Zacytowane przez Rafala twierdzenie bylo ciekawe;
ale wcale nie bylo widac jak lacznie z twierdzeniem
Pitagorasa da w miare sensowne rozwiazanie).

Moze juz pora, Michale wziac sie za matematyke, zamiast
w nieskonczonosc rozwodzic sie o progu punktowym.
Bo naprawde zasmieca sie spis rzeczy artykulow
pojawiajacych sie na naszej liscie, bola oczy,
trudno grupe czytac.

Pozdrawiam,

    Wlodek

Pochodna i jej ciągłość

Cytat:
Dodatkowo po spojrzeniu na wykres pochodnej, doszedłem do wniosku, że
pochodna funkcji musi być ciągła w danym punkcie, żeby można było ją
tam zróżniczkować. Zapytałem o to prowadzącego, który chwilę się
zastanawiał i odpowiedział, że nie zawsze oraz, że są jakieś funkcje
wyjątki, tylko, że żadnej nie pamięta :) Możecie mi przybliżyć ten
problem ?



Nie bardzo wiem jak patrzyłeś na wykres i dlaczego chciałeś
zróżniczkować pochodną :-))

Rzeczywiście *funkcja* musi być w danym punkcie ciągła, żeby
można ją było w tym punkcie zróżniczkować (dokładniej: żeby istniała
pochodna, jeszcze dokładniej: żeby istniała skończona granica ilorazu
różnicowego). Natomiast pochodna funkcji ciągłej i różniczkowalnej w
każdym punkcie nie musi być ciągła. Przykładem jest f:R-R określona
wzorem

f(x)=x^2 sin(1/x).

Inna sprawa, że ta nieciągłość musi być dość szczególnego typu, tzn. nie
wynika z tego, że granice jednostronne są różne, tylko z tego, że
przynajmniej jedna granica jednostronna nie istnieje.

Cytat:Drugie pytanie :) Co to znaczy odległość między okręgami ? Ja



Ja bym powiedział, że w zasadzie nie ma jednoznacznie określonego
pojęcia odległości między okręgami i wymaga ono doprecyzowania. Gdyby
nie było takiego doprecyzowania, to domyślnie jednak przyjąłbym, że
chodzi o

min{d(x,y) : xin O_1, yin O_2},

czyli pewnie to co Ty. W szczególnych kontekstach myślałbym jednak np. o
metryce Hausdorffa. Ale odległość między planetami to jednak mierzyłbym
jako odległość środków ;-))

Pozdrawiam
Marcin